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Quantitative Aptitude · Chapter 01 · Number System

Number System

The number system is the foundation of all of quantitative aptitude. Every other chapter uses it. The good news: SSC's number-system questions come from a small, fixed set of ideas — number types, divisibility rules, unit digits and remainders. Learn these rules and a "tough" question becomes a few seconds of pattern-spotting. This chapter builds each idea with worked examples, then tests you with harder questions.संख्या पद्धति पूरे परिमाणात्मक अभिरुचि की नींव है। हर दूसरा अध्याय इसका उपयोग करता है। अच्छी बात: SSC के संख्या-पद्धति प्रश्न कुछ निश्चित विचारों से आते हैं — संख्या प्रकार, विभाज्यता नियम, इकाई अंक और शेषफल। इन नियमों को सीख लें तो "कठिन" प्रश्न कुछ सेकंड का पैटर्न-पहचान बन जाता है। यह अध्याय हर विचार को हल किए उदाहरणों के साथ बनाता है, फिर कठिन प्रश्नों से परखता है।
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Topic 01

The Types of Numbers

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Numbers sit inside one another like boxes within boxes. Every natural number is also a whole number, every whole number is an integer, and so on outward. Knowing which box a number lives in answers many quick questions.संख्याएँ एक-दूसरे के अंदर बक्सों की तरह बैठती हैं। हर प्राकृत संख्या पूर्ण संख्या भी है, हर पूर्ण संख्या पूर्णांक है, और इसी तरह बाहर की ओर। कोई संख्या किस बक्से में रहती है यह जानना कई त्वरित प्रश्नों का उत्तर देता है।

How the number families nestसंख्या परिवार कैसे एक-दूसरे में समाते हैं
Complex (a + ib) Real Irrational√2, π, e Rational (p/q) Integers …−2,−1,0… Whole 0,1,2… Natural1, 2, 3, …
  • Natural 1, 2, 3, …  ·  Whole adds 0 → 0, 1, 2, …  ·  Integers add the negatives → …−2, −1, 0, 1, 2…प्राकृत 1, 2, 3, … · पूर्ण में 0 जुड़ता है → 0, 1, 2, … · पूर्णांक में ऋणात्मक जुड़ते हैं → …−2, −1, 0, 1, 2…
  • Rational — can be written as p/q (q ≠ 0); their decimals either stop or repeat (e.g. 0.5, 0.333…).परिमेय — p/q रूप में लिखी जा सकें (q ≠ 0); इनके दशमलव या तो समाप्त होते हैं या दोहराते हैं (जैसे 0.5, 0.333…)।
  • Irrational — cannot be written as p/q; their decimals never stop and never repeat (e.g. √2, π).अपरिमेय — p/q रूप में नहीं लिखी जा सकें; इनके दशमलव न समाप्त होते न दोहराते (जैसे √2, π)।
  • Real = all rational and irrational numbers together. Complex a + ib add the imaginary unit i, where i² = −1.वास्तविक = सभी परिमेय और अपरिमेय संख्याएँ मिलकर। सम्मिश्र a + ib में काल्पनिक इकाई i जुड़ती है, जहाँ i² = −1।
📝 Quick self-testत्वरित स्वयं-परीक्षण 2 MCQs

Which of these is an irrational number?इनमें से कौन-सी अपरिमेय संख्या है?

  1. √7
  2. 3/8
  3. 0.333…
  4. 0.75
✔ A. √7 has a non-terminating, non-repeating decimal, so it is irrational. The others can all be written as p/q.✔ A. √7 का दशमलव अनवसानी व अनावर्ती है, अतः यह अपरिमेय है। बाकी सब p/q रूप में लिखे जा सकते हैं।

The smallest whole number is:सबसे छोटी पूर्ण संख्या है:

  1. −1
  2. 0
  3. 2
  4. 1
✔ B. Whole numbers start at 0 (natural numbers start at 1).✔ B. पूर्ण संख्याएँ 0 से शुरू होती हैं (प्राकृत संख्याएँ 1 से)।
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Topic 02

Primes & Other Special Numbers

  • Prime — a number with exactly two factors, 1 and itself (2, 3, 5, 7, 11, …).अभाज्य — ठीक दो गुणनखंड वाली संख्या, 1 और स्वयं (2, 3, 5, 7, 11, …)।
  • Composite — has more than two factors (4, 6, 8, 9, …).भाज्य — दो से अधिक गुणनखंड (4, 6, 8, 9, …)।
  • Co-prime — two numbers whose only common factor is 1 (e.g. 8 and 15).सह-अभाज्य — दो संख्याएँ जिनका एकमात्र उभयनिष्ठ गुणनखंड 1 हो (जैसे 8 और 15)।
  • Perfect — equals the sum of its own factors excluding itself (6 = 1 + 2 + 3).पूर्ण — अपने ही गुणनखंडों (स्वयं को छोड़कर) के योग के बराबर (6 = 1 + 2 + 3)।
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Facts the exam loves to testतथ्य जिन्हें परीक्षा परखना पसंद करती है
1 is neither prime nor composite. 2 is the only even prime. Every prime greater than 3 has the form 6k ± 1. To test if a number is prime, check divisibility only by primes up to its square root — e.g. for 349 (√349 ≈ 18.7) test 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17; none divides it, so 349 is prime.1 न अभाज्य है न भाज्य। 2 एकमात्र सम अभाज्य है। 3 से बड़ी हर अभाज्य का रूप 6k ± 1 होता है। किसी संख्या के अभाज्य होने की जाँच के लिए, केवल उसके वर्गमूल तक की अभाज्यों से विभाज्यता जाँचें — जैसे 349 (√349 ≈ 18.7) के लिए 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 जाँचें; कोई विभाजित नहीं करता, अतः 349 अभाज्य है।
📝 Quick self-testत्वरित स्वयं-परीक्षण 2 MCQs

How many prime numbers are there between 1 and 20?1 और 20 के बीच कितनी अभाज्य संख्याएँ हैं?

  1. 9
  2. 7
  3. 8
  4. 6
✔ C. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 — that is 8 primes.✔ C. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 — यानी 8 अभाज्य।

Which statement is true?कौन-सा कथन सत्य है?

  1. All odd numbers are prime
  2. 9 is a prime number
  3. 1 is a prime number
  4. 2 is the only even prime
✔ D. 2 is the only even prime. (1 is neither prime nor composite; 9 = 3 × 3 is composite.)✔ D. 2 एकमात्र सम अभाज्य है। (1 न अभाज्य न भाज्य; 9 = 3 × 3 भाज्य है।)
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Topic 03

Divisibility Rules

A divisibility rule tells you if one number divides another without doing the division. These are among the highest-value tricks in the whole syllabus — learn the table by heart.एक विभाज्यता नियम बताता है कि एक संख्या दूसरी को विभाजित करती है या नहीं बिना भाग किए। ये पूरे पाठ्यक्रम की सबसे उपयोगी तरकीबों में हैं — सारणी कंठस्थ करें।

Divisible byसे विभाज्यRuleनियम
2last digit is even (0,2,4,6,8)अंतिम अंक सम हो (0,2,4,6,8)
3sum of all digits is divisible by 3सभी अंकों का योग 3 से विभाज्य हो
4the last two digits form a number divisible by 4अंतिम दो अंक 4 से विभाज्य संख्या बनाएँ
5last digit is 0 or 5अंतिम अंक 0 या 5 हो
6divisible by both 2 and 32 और 3 दोनों से विभाज्य हो
8the last three digits form a number divisible by 8अंतिम तीन अंक 8 से विभाज्य संख्या बनाएँ
9sum of all digits is divisible by 9सभी अंकों का योग 9 से विभाज्य हो
11(sum of odd-place digits) − (sum of even-place digits) is 0 or divisible by 11(विषम-स्थान अंकों का योग) − (सम-स्थान अंकों का योग) 0 या 11 से विभाज्य हो
◆ Worked examplesहल किए उदाहरण
  1. Is 4,53,168 divisible by 3? Digit sum = 4+5+3+1+6+8 = 27, which is divisible by 3 → yes.क्या 4,53,168, 3 से विभाज्य है? अंक-योग = 4+5+3+1+6+8 = 27, जो 3 से विभाज्य → हाँ।
  2. Is 8,41,532 divisible by 8? Last three digits 532 ÷ 8 is not whole (532 = 8×66 + 4) → no.क्या 8,41,532, 8 से विभाज्य है? अंतिम तीन अंक 532 ÷ 8 पूर्ण नहीं (532 = 8×66 + 4) → नहीं।
  3. Is 91,839 divisible by 11? Odd places (from right): 9+8+9 = 26; even places: 3+1 = 4; difference 26 − 4 = 22, divisible by 11 → yes.क्या 91,839, 11 से विभाज्य है? विषम स्थान (दाएँ से): 9+8+9 = 26; सम स्थान: 3+1 = 4; अंतर 26 − 4 = 22, 11 से विभाज्य → हाँ।
✔ For 3 and 9 use the digit sum; for 4 and 8 look only at the last two or three digits.✔ 3 और 9 के लिए अंक-योग लें; 4 और 8 के लिए केवल अंतिम दो या तीन अंक देखें।
📝 Quick self-testत्वरित स्वयं-परीक्षण 2 MCQs

The number 3,42,7*8 is divisible by 9. The missing digit * is:संख्या 3,42,7*8, 9 से विभाज्य है। लुप्त अंक * है:

  1. 3
  2. 6
  3. 9
  4. 1
✔ A. Known digits sum to 3+4+2+7+8 = 24. For divisibility by 9 the total must reach 27, so * = 27 − 24 = 3.✔ A. ज्ञात अंकों का योग 3+4+2+7+8 = 24। 9 से विभाज्यता के लिए योग 27 तक पहुँचे, अतः * = 27 − 24 = 3।

Which of these numbers is divisible by 4?इनमें से कौन-सी संख्या 4 से विभाज्य है?

  1. 5,626
  2. 8,132
  3. 2,918
  4. 7,314
✔ B. Only the last two digits matter: 32 ÷ 4 = 8 (whole), so 8,132 is divisible by 4. (14, 26, 18 are not divisible by 4.)✔ B. केवल अंतिम दो अंक मायने रखते हैं: 32 ÷ 4 = 8 (पूर्ण), अतः 8,132, 4 से विभाज्य है। (14, 26, 18 विभाज्य नहीं।)
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Topic 04

Unit Digit & Cyclicity of Powers

SSC often asks for the last (unit) digit of a huge power like 7¹⁰⁵. You never compute the whole number — the unit digit of a power repeats in a short cycle, so you only track that cycle.SSC अक्सर 7¹⁰⁵ जैसी विशाल घात का अंतिम (इकाई) अंक पूछता है। आप पूरी संख्या कभी नहीं निकालते — घात का इकाई अंक एक छोटे चक्र में दोहराता है, इसलिए आप केवल वह चक्र देखते हैं।

Cyclicity of the unit digitइकाई अंक की चक्रीयता
Digits 0, 1, 5, 6 → the unit digit never changes (cycle length 1)
Digits 4, 9 → cycle length 2  ·  Digits 2, 3, 7, 8 → cycle length 4
Method: find the base's unit digit, then reduce the power using cycle 4 (take the exponent mod 4)
अंक 0, 1, 5, 6 → इकाई अंक कभी नहीं बदलता (चक्र 1)। अंक 4, 9 → चक्र 2। अंक 2, 3, 7, 8 → चक्र 4। विधि: आधार का इकाई अंक लें, फिर घात को चक्र-4 से घटाएँ (घातांक mod 4 लें)।
◆ Worked examplesहल किए उदाहरण
  1. Unit digit of 7¹⁰⁵. 7's cycle is 7, 9, 3, 1 (length 4). 105 ÷ 4 leaves remainder 1, so take the 1st in the cycle → 7.7¹⁰⁵ का इकाई अंक। 7 का चक्र 7, 9, 3, 1 है (लंबाई 4)। 105 ÷ 4 शेष 1 देता है, अतः चक्र में पहला लें → 7।
  2. Unit digit of 2⁵⁰. 2's cycle is 2, 4, 8, 6. 50 ÷ 4 leaves remainder 2, so take the 2nd → 4.2⁵⁰ का इकाई अंक। 2 का चक्र 2, 4, 8, 6 है। 50 ÷ 4 शेष 2 देता है, अतः दूसरा लें → 4।
  3. Unit digit of 6¹⁰⁰. 6 always ends in 6, so the answer is 6.6¹⁰⁰ का इकाई अंक। 6 सदा 6 पर समाप्त होता है, अतः उत्तर 6।
✔ When the remainder is 0, use the last digit of the cycle, not the first.✔ जब शेष 0 हो, चक्र का अंतिम अंक लें, पहला नहीं।
📝 Quick self-testत्वरित स्वयं-परीक्षण 2 MCQs

The unit digit of 3⁶⁴ is:3⁶⁴ का इकाई अंक है:

  1. 7
  2. 9
  3. 1
  4. 3
✔ C. 3's cycle is 3, 9, 7, 1. 64 ÷ 4 leaves remainder 0, so take the last of the cycle → 1.✔ C. 3 का चक्र 3, 9, 7, 1 है। 64 ÷ 4 शेष 0, अतः चक्र का अंतिम लें → 1।

The unit digit of 4²⁷ is:4²⁷ का इकाई अंक है:

  1. 2
  2. 8
  3. 6
  4. 4
✔ D. 4 cycles 4, 6, 4, 6 — odd power ends in 4, even power ends in 6. 27 is odd → 4.✔ D. 4 का चक्र 4, 6, 4, 6 — विषम घात 4 पर, सम घात 6 पर। 27 विषम → 4।
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Topic 05

Counting Factors & Remainders

To count how many factors a number has, first break it into prime factors, then use a short formula. This avoids listing factors one by one.किसी संख्या के कितने गुणनखंड हैं, यह गिनने के लिए पहले उसे अभाज्य गुणनखंडों में तोड़ें, फिर एक छोटा सूत्र लगाएँ। इससे एक-एक गुणनखंड लिखने से बचते हैं।

Number of factorsगुणनखंडों की संख्या
If N = p^a × q^b × r^c (p, q, r prime), then the number of factors = (a + 1)(b + 1)(c + 1)
यदि N = p^a × q^b × r^c (p, q, r अभाज्य), तो गुणनखंडों की संख्या = (a + 1)(b + 1)(c + 1)।
The division relationभाग संबंध
Dividend = (Divisor × Quotient) + Remainder
भाज्य = (भाजक × भागफल) + शेषफल।
◆ Worked examplesहल किए उदाहरण
  1. How many factors does 72 have? 72 = 2³ × 3², so factors = (3+1)(2+1) = 4 × 3 = 12.72 के कितने गुणनखंड हैं? 72 = 2³ × 3², अतः गुणनखंड = (3+1)(2+1) = 4 × 3 = 12।
  2. A number divided by a divisor gives quotient 79 and remainder 35; the dividend is 24,446. Find the divisor. Divisor × 79 = 24,446 − 35 = 24,411, so divisor = 24,411 ÷ 79 = 309.किसी संख्या को भाजक से भाग देने पर भागफल 79 और शेष 35 आता है; भाज्य 24,446 है। भाजक निकालें। भाजक × 79 = 24,446 − 35 = 24,411, अतः भाजक = 24,411 ÷ 79 = 309।
✔ Factors come from the prime powers; the division relation ties dividend, divisor, quotient and remainder together.✔ गुणनखंड अभाज्य घातों से आते हैं; भाग संबंध भाज्य, भाजक, भागफल और शेष को जोड़ता है।
📝 Quick self-testत्वरित स्वयं-परीक्षण 2 MCQs

The number of factors of 60 is:60 के गुणनखंडों की संख्या है:

  1. 12
  2. 8
  3. 6
  4. 10
✔ A. 60 = 2² × 3 × 5, so factors = (2+1)(1+1)(1+1) = 3 × 2 × 2 = 12.✔ A. 60 = 2² × 3 × 5, अतः गुणनखंड = (2+1)(1+1)(1+1) = 3 × 2 × 2 = 12।

A number when divided by 7 gives quotient 12 and remainder 5. The number is:एक संख्या को 7 से भाग देने पर भागफल 12 और शेष 5 आता है। संख्या है:

  1. 77
  2. 89
  3. 95
  4. 84
✔ B. Number = (7 × 12) + 5 = 84 + 5 = 89.✔ B. संख्या = (7 × 12) + 5 = 84 + 5 = 89।
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Topic 06

Sums of Number Series

Adding a long list like 1 + 2 + 3 + … + 100 by hand is slow. These standard sum formulas give the answer in one line.1 + 2 + 3 + … + 100 जैसी लंबी सूची हाथ से जोड़ना धीमा है। ये मानक योग सूत्र उत्तर एक पंक्ति में देते हैं।

The five sum formulas (n = how many terms)पाँच योग सूत्र (n = पदों की संख्या)
Sum of first n natural numbers   1 + 2 + … + n = n(n + 1)/2
Sum of first n odd numbers   1 + 3 + 5 + … = n²
Sum of first n even numbers   2 + 4 + 6 + … = n(n + 1)
Sum of squares   1² + 2² + … + n² = n(n + 1)(2n + 1)/6
Sum of cubes   1³ + 2³ + … + n³ = [n(n + 1)/2]²
प्रथम n प्राकृत: n(n+1)/2। प्रथम n विषम: n²। प्रथम n सम: n(n+1)। वर्गों का योग: n(n+1)(2n+1)/6। घनों का योग: [n(n+1)/2]²।
◆ Worked examplesहल किए उदाहरण
  1. 1 + 2 + 3 + … + 100 = 100 × 101 / 2 = 5050.1 + 2 + 3 + … + 100 = 100 × 101 / 2 = 5050।
  2. Sum of all even numbers up to 400. There are 200 even numbers, so sum = 200 × 201 = 40,200.400 तक सभी सम संख्याओं का योग। 200 सम संख्याएँ हैं, अतः योग = 200 × 201 = 40,200।
  3. 1² + 2² + … + 10² = 10 × 11 × 21 / 6 = 385.1² + 2² + … + 10² = 10 × 11 × 21 / 6 = 385।
✔ First count how many terms (n), then drop it into the right formula.✔ पहले गिनें कितने पद (n), फिर सही सूत्र में रखें।
📝 Quick self-testत्वरित स्वयं-परीक्षण 2 MCQs

The sum of the first 20 natural numbers is:प्रथम 20 प्राकृत संख्याओं का योग है:

  1. 420
  2. 200
  3. 210
  4. 190
✔ C. n(n+1)/2 = 20 × 21 / 2 = 210.✔ C. n(n+1)/2 = 20 × 21 / 2 = 210।

The sum of the first 15 odd numbers (1 + 3 + 5 + …) is:प्रथम 15 विषम संख्याओं (1 + 3 + 5 + …) का योग है:

  1. 196
  2. 240
  3. 255
  4. 225
✔ D. Sum of first n odd numbers = n² = 15² = 225.✔ D. प्रथम n विषम संख्याओं का योग = n² = 15² = 225।

Test Yourself · Number System

24 questions on number types, primes, divisibility, unit digits, factors, remainders and series sums. Take 5 at a time; tap an option to check, then read Why.

संख्या प्रकार, अभाज्य, विभाज्यता, इकाई अंक, गुणनखंड, शेषफल और श्रेणी योग पर 24 प्रश्न। एक बार में 5 लें; जाँचने के लिए विकल्प पर टैप करें, फिर Why पढ़ें।