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Quantitative Aptitude · Chapter 15 · LCM & HCF

LCM & HCF

HCF is the biggest number that divides two numbers; LCM is the smallest number they both divide into. Both come from the same idea — breaking numbers into their prime factors. Learn one clean method and both become easy, along with the word problems (bells ringing together, cutting into equal pieces) that are built on them.HCF वह सबसे बड़ी संख्या है जो दो संख्याओं को विभाजित करती है; LCM वह सबसे छोटी संख्या है जिसे दोनों विभाजित करती हैं। दोनों एक ही विचार से आते हैं — संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में तोड़ना। एक साफ़ विधि सीख लें तो दोनों आसान हो जाते हैं, साथ ही उन पर बने शब्द-प्रश्न (घंटियाँ एक साथ बजना, बराबर टुकड़ों में काटना) भी।
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Topic 01

LCM — Least Common Multiple

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A multiple of a number is that number times 1, 2, 3, … The LCM (least common multiple) of two or more numbers is the smallest number that is a multiple of all of them. For example, the LCM of 3 and 4 is 12 — the first number that appears in both the 3-times table and the 4-times table.किसी संख्या का गुणज वह संख्या गुणा 1, 2, 3, … है। दो या अधिक संख्याओं का LCM (लघुत्तम समापवर्त्य) वह सबसे छोटी संख्या है जो उन सभी का गुणज हो। जैसे, 3 और 4 का LCM 12 है — पहली संख्या जो 3 और 4 दोनों के पहाड़े में आती है।

Prime-factor method for LCMLCM के लिए अभाज्य-गुणनखंड विधि
Step 1 — write each number as a product of primes.
Step 2 — take every prime that appears, each raised to its highest power.
Step 3 — multiply them.
चरण 1 — हर संख्या को अभाज्यों के गुणनफल में लिखें। चरण 2 — आने वाली हर अभाज्य लें, प्रत्येक को उसकी सबसे बड़ी घात तक। चरण 3 — गुणा करें।
◆ Worked example — LCM of 10, 20 and 25हल किया उदाहरण — 10, 20 और 25 का LCM
  1. Prime factors: 10 = 2 × 5,  20 = 2² × 5,  25 = 5².अभाज्य गुणनखंड: 10 = 2 × 5, 20 = 2² × 5, 25 = 5²।
  2. Highest power of each prime: 2² and 5².हर अभाज्य की सबसे बड़ी घात: 2² और 5²।
  3. LCM = 2² × 5² = 4 × 25 = 100.LCM = 2² × 5² = 4 × 25 = 100।
✔ For LCM, take the HIGHEST power of every prime that appears anywhere.✔ LCM के लिए, कहीं भी आने वाली हर अभाज्य की सबसे बड़ी घात लें।
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The LCM of 12 and 18 is:12 और 18 का LCM है:

  1. 36
  2. 6
  3. 72
  4. 216
✔ A. 12 = 2²×3, 18 = 2×3²; take 2² and 3² → LCM = 4 × 9 = 36.✔ A. 12 = 2²×3, 18 = 2×3²; 2² और 3² लें → LCM = 4 × 9 = 36।

The LCM of 8, 12 and 15 is:8, 12 और 15 का LCM है:

  1. 240
  2. 120
  3. 180
  4. 60
✔ B. 8 = 2³, 12 = 2²×3, 15 = 3×5; take 2³, 3, 5 → LCM = 8 × 3 × 5 = 120.✔ B. 8 = 2³, 12 = 2²×3, 15 = 3×5; 2³, 3, 5 लें → LCM = 8 × 3 × 5 = 120।
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Topic 02

HCF — Highest Common Factor

A factor of a number divides it exactly. The HCF (highest common factor, also called GCD) of two numbers is the biggest number that divides both. The method is the mirror image of LCM.किसी संख्या का गुणनखंड उसे पूरा-पूरा विभाजित करता है। दो संख्याओं का HCF (महत्तम समापवर्तक, जिसे GCD भी कहते हैं) वह सबसे बड़ी संख्या है जो दोनों को विभाजित करे। विधि LCM की दर्पण-छवि है।

Prime-factor method for HCFHCF के लिए अभाज्य-गुणनखंड विधि
Step 1 — write each number as a product of primes.
Step 2 — take only the common primes, each raised to its lowest power.
Step 3 — multiply them.
चरण 1 — हर संख्या को अभाज्यों के गुणनफल में लिखें। चरण 2 — केवल उभयनिष्ठ अभाज्य लें, प्रत्येक को उसकी सबसे छोटी घात तक। चरण 3 — गुणा करें।
HCF is the shared part; LCM is everything together (12 and 18)HCF साझा भाग है; LCM सब कुछ मिलाकर (12 और 18)
12 = 2×2×3 18 = 2×3×3 2 2 , 3 3 shared
HCF = shared 2 × 3 = 6  ·  LCM = all of 2 × 2 × 3 × 3 = 36HCF = साझा 2 × 3 = 6 · LCM = सभी 2 × 2 × 3 × 3 = 36
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The division (Euclid) method — fast for big numbersभाग (यूक्लिड) विधि — बड़ी संख्याओं के लिए तेज़
Divide the larger number by the smaller; then divide the previous divisor by the remainder; keep going. The last non-zero remainder is the HCF. Example: HCF(48, 36) → 48 = 36×1 + 12; 36 = 12×3 + 0; the HCF is 12.बड़ी संख्या को छोटी से भाग दें; फिर पिछले भाजक को शेष से भाग दें; चलते रहें। अंतिम शून्येतर शेष ही HCF है। उदाहरण: HCF(48, 36) → 48 = 36×1 + 12; 36 = 12×3 + 0; अतः HCF 12 है।
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The HCF of 24 and 36 is:24 और 36 का HCF है:

  1. 6
  2. 4
  3. 12
  4. 72
✔ C. 24 = 2³×3, 36 = 2²×3²; common primes at lowest power = 2² × 3 = 12.✔ C. 24 = 2³×3, 36 = 2²×3²; उभयनिष्ठ अभाज्य सबसे छोटी घात पर = 2² × 3 = 12।

The HCF of two co-prime numbers is always:दो सह-अभाज्य संख्याओं का HCF सदा होता है:

  1. The smaller number
  2. 0
  3. Their product
  4. 1
✔ D. Co-prime numbers share no factor except 1, so their HCF is 1 (by definition).✔ D. सह-अभाज्य संख्याओं में 1 के अलावा कोई गुणनखंड नहीं, अतः उनका HCF 1 होता है।
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Topic 03

The LCM × HCF Link (and Fractions)

For two numbers there is one beautiful relation that solves a whole class of questions in one step.दो संख्याओं के लिए एक सुंदर संबंध है जो प्रश्नों की एक पूरी श्रेणी को एक चरण में हल कर देता है।

The key relation (two numbers only)मुख्य संबंध (केवल दो संख्याएँ)
LCM × HCF = product of the two numbers   (LCM × HCF = a × b)
LCM × HCF = दोनों संख्याओं का गुणनफल (LCM × HCF = a × b)।
HCF and LCM of fractionsभिन्नों का HCF और LCM
HCF of fractions = HCF of numerators / LCM of denominators
LCM of fractions = LCM of numerators / HCF of denominators
भिन्नों का HCF = अंशों का HCF / हरों का LCM। भिन्नों का LCM = अंशों का LCM / हरों का HCF।
◆ Worked examplesहल किए उदाहरण
  1. Two numbers have HCF 12 and LCM 72. One number is 24. Find the other. Product = LCM × HCF = 72 × 12 = 864; the other = 864 ÷ 24 = 36.दो संख्याओं का HCF 12 और LCM 72 है। एक संख्या 24 है। दूसरी निकालें। गुणनफल = LCM × HCF = 72 × 12 = 864; दूसरी = 864 ÷ 24 = 36।
  2. HCF of 2/3, 8/9 and 10/27. = HCF(2, 8, 10) / LCM(3, 9, 27) = 2 / 27 = 2/27.2/3, 8/9 और 10/27 का HCF। = HCF(2, 8, 10) / LCM(3, 9, 27) = 2 / 27 = 2/27।
✔ Remember: LCM × HCF = product works only for exactly two numbers, never three.✔ याद रखें: LCM × HCF = गुणनफल केवल ठीक दो संख्याओं के लिए काम करता है, तीन के लिए कभी नहीं।
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The HCF of two numbers is 8 and their LCM is 96. If one number is 32, the other is:दो संख्याओं का HCF 8 और LCM 96 है। यदि एक संख्या 32 है, तो दूसरी है:

  1. 24
  2. 12
  3. 48
  4. 16
✔ A. Product = 96 × 8 = 768; other = 768 ÷ 32 = 24.✔ A. गुणनफल = 96 × 8 = 768; दूसरी = 768 ÷ 32 = 24।

The product of two numbers is 2028 and their HCF is 13. Their LCM is:दो संख्याओं का गुणनफल 2028 और उनका HCF 13 है। उनका LCM है:

  1. 169
  2. 156
  3. 144
  4. 26
✔ B. LCM = product ÷ HCF = 2028 ÷ 13 = 156.✔ B. LCM = गुणनफल ÷ HCF = 2028 ÷ 13 = 156।
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Topic 04

Word Problems — When to Use Which

The hard part of a word problem is deciding whether it needs LCM or HCF. One simple test settles it:शब्द-प्रश्न का कठिन भाग यह तय करना है कि उसमें LCM चाहिए या HCF। एक सरल जाँच इसे सुलझा देती है:

  • Use LCM when things happen at different intervals and you want when they come together again — bells ringing, lights flashing, runners meeting at the start.LCM उपयोग करें जब चीज़ें अलग अंतरालों पर हों और आप जानना चाहें वे फिर कब एक साथ होंगी — घंटियाँ बजना, बत्तियाँ जलना, धावक प्रारंभ पर मिलना।
  • Use HCF when you want the largest equal piece — the greatest length of tape that measures several lengths exactly, the biggest tile that fits a floor, the most people you can split things among equally.HCF उपयोग करें जब आप सबसे बड़ा बराबर टुकड़ा चाहें — सबसे बड़ी लंबाई जो कई लंबाइयों को पूरा नापे, सबसे बड़ी टाइल जो फर्श में फिट हो, सबसे अधिक लोग जिनमें बराबर बाँटा जा सके।
◆ Worked examplesहल किए उदाहरण
  1. Three bells ring every 6, 9 and 12 minutes. After how long do they ring together? "Come together" → LCM(6, 9, 12) = 36 minutes.तीन घंटियाँ हर 6, 9 और 12 मिनट में बजती हैं। कितने समय बाद एक साथ बजेंगी? "एक साथ" → LCM(6, 9, 12) = 36 मिनट।
  2. Greatest length that measures 120 cm, 180 cm and 300 cm exactly? "Largest equal piece" → HCF(120, 180, 300) = 60 cm.सबसे बड़ी लंबाई जो 120, 180 और 300 सेमी को पूरा नापे? "सबसे बड़ा बराबर टुकड़ा" → HCF(120, 180, 300) = 60 सेमी।
  3. Smallest number that, divided by 12, 15 and 20, leaves remainder 5 each time? LCM(12, 15, 20) = 60, then add the remainder: 60 + 5 = 65.सबसे छोटी संख्या जो 12, 15 और 20 से भाग देने पर हर बार शेष 5 छोड़े? LCM(12, 15, 20) = 60, फिर शेष जोड़ें: 60 + 5 = 65।
✔ "Together / smallest common" → LCM. "Largest equal / greatest that divides" → HCF.✔ "एक साथ / सबसे छोटी उभयनिष्ठ" → LCM। "सबसे बड़ा बराबर / सबसे बड़ी जो विभाजित करे" → HCF।
📝 Quick self-testत्वरित स्वयं-परीक्षण 2 MCQs

Two traffic lights change every 48 and 72 seconds. If they change together now, after how many seconds do they change together again?दो ट्रैफ़िक बत्तियाँ हर 48 और 72 सेकंड में बदलती हैं। यदि वे अभी एक साथ बदलीं, तो कितने सेकंड बाद फिर एक साथ बदलेंगी?

  1. 24
  2. 288
  3. 144
  4. 96
✔ C. "Change together" → LCM. 48 = 2⁴×3, 72 = 2³×3²; LCM = 2⁴×3² = 144 seconds.✔ C. "एक साथ बदलना" → LCM। 48 = 2⁴×3, 72 = 2³×3²; LCM = 2⁴×3² = 144 सेकंड।

The greatest number that divides 43, 91 and 183 leaving the same remainder each time is:वह सबसे बड़ी संख्या जो 43, 91 और 183 को भाग देने पर हर बार समान शेष छोड़े, है:

  1. 7
  2. 9
  3. 13
  4. 4
✔ D. Take the HCF of the differences: 91−43 = 48, 183−91 = 92, 183−43 = 140; HCF(48, 92, 140) = 4.✔ D. अंतरों का HCF लें: 91−43 = 48, 183−91 = 92, 183−43 = 140; HCF(48, 92, 140) = 4।

Test Yourself · LCM & HCF

20 questions on LCM, HCF, the LCM×HCF relation, fractions and word problems. Take 5 at a time; tap an option to check, then read Why.

LCM, HCF, LCM×HCF संबंध, भिन्न और शब्द-प्रश्नों पर 20 प्रश्न। एक बार में 5 लें; जाँचने के लिए विकल्प पर टैप करें, फिर Why पढ़ें।