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Quantitative Aptitude · Chapter 05 · Average

Average

The average of a set of numbers is their sum divided by how many there are. It is the single value that could replace every number without changing the total. Almost every exam question is just this one idea, wearing a costume — a change of members, a speed, an age, or a run of consecutive numbers. Learn to move between sum and average freely and the whole chapter opens up.औसत किसी समूह की संख्याओं का योग भाग गिनती होता है। यह वह एक मान है जो हर संख्या की जगह ले ले तो भी योग नहीं बदले। लगभग हर परीक्षा प्रश्न इसी एक विचार का रूप है — सदस्य बदलना, चाल, आयु, या क्रमागत संख्याओं की श्रृंखला। योग और औसत के बीच स्वतंत्र रूप से आना-जाना सीख लें और पूरा अध्याय खुल जाता है।
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Topic 01

Meaning of Average & the Deviation Method

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The one formulaएकमात्र सूत्र
Average = (Sum of all the numbers) ÷ (How many numbers)   ·   so   Sum = Average × Count
औसत = (सभी संख्याओं का योग) ÷ (कितनी संख्याएँ) · अतः योग = औसत × गिनती।

The second form — Sum = Average × Count — is the real workhorse. Whenever a question mentions "the average of 30 students is 40", quietly turn it into a total: 30 × 40 = 1200. Work with totals, then divide back at the end.दूसरा रूप — योग = औसत × गिनती — असली काम का घोड़ा है। जब भी प्रश्न कहे "30 विद्यार्थियों का औसत 40 है", उसे चुपचाप योग में बदलें: 30 × 40 = 1200। योग के साथ काम करें, फिर अंत में वापस भाग दें।

The average always sits between the smallest and the largest value — it can never fall outside that band. Think of it as a balancing point: the amounts by which numbers rise above the average exactly cancel the amounts by which others fall below it.औसत हमेशा सबसे छोटे और सबसे बड़े मान के बीच होता है — वह कभी उस पट्टी से बाहर नहीं जाता। इसे संतुलन बिंदु समझें: जितनी मात्रा से संख्याएँ औसत से ऊपर उठती हैं, उतनी ही से दूसरी नीचे गिरती हैं — दोनों ठीक कट जाती हैं।

Deviations balance around the averageऔसत के चारों ओर विचलन संतुलित होते हैं
Average = 218 214 (−4) 215 (−3) 219 (+1) 224 (+10) below −7 above +11
◆ Deviation (short-cut) methodविचलन (शॉर्टकट) विधि

Find the average of 214, 215, 219, 224 without adding big numbers.बड़ी संख्याएँ जोड़े बिना 214, 215, 219, 224 का औसत निकालें।

  1. Pick a handy central value, say 214. Write each number's deviation from it: 0, +1, +5, +10.एक सुविधाजनक केंद्रीय मान चुनें, मान लें 214। हर संख्या का उससे विचलन लिखें: 0, +1, +5, +10।
  2. Average the deviations: (0 + 1 + 5 + 10) ÷ 4 = 16 ÷ 4 = 4. Add back: 214 + 4 = 218.विचलनों का औसत: (0 + 1 + 5 + 10) ÷ 4 = 16 ÷ 4 = 4। वापस जोड़ें: 214 + 4 = 218।
✔ Average = assumed value + (average of the deviations). Choose the assumed value to make the small numbers easy.✔ औसत = मान लिया मान + (विचलनों का औसत)। मान लिया मान ऐसा चुनें कि छोटी संख्याएँ आसान हो जाएँ।
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Shift & scale ruleस्थानांतरण व स्केल नियम
If every number goes up (or down) by the same amount S, the average moves by S too. If every number is multiplied (or divided) by S, the average is multiplied (or divided) by S. Handy when a whole list is nudged.यदि हर संख्या समान मात्रा S से बढ़े (या घटे), तो औसत भी S से बदलता है। यदि हर संख्या को S से गुणा (या भाग) किया जाए, तो औसत भी S से गुणा (या भाग) होता है। जब पूरी सूची एक-सी बदले तब उपयोगी।
📝 Quick self-testत्वरित स्वयं-परीक्षण 2 MCQs

The average of five numbers is 40. If a sixth number 46 is added, the new average is:पाँच संख्याओं का औसत 40 है। यदि छठी संख्या 46 जोड़ी जाए, तो नया औसत है:

  1. 42
  2. 41
  3. 44
  4. 43
✔ B. Old sum = 5 × 40 = 200; new sum = 246; new average = 246 ÷ 6 = 41.✔ B. पुराना योग = 5 × 40 = 200; नया योग = 246; नया औसत = 246 ÷ 6 = 41।

Each of 10 numbers whose average is 15 is increased by 4. The new average is:10 संख्याओं (औसत 15) में से प्रत्येक को 4 से बढ़ाया जाता है। नया औसत है:

  1. 15
  2. 17
  3. 19
  4. 60
✔ C. Adding the same 4 to every number lifts the average by 4: 15 + 4 = 19.✔ C. हर संख्या में समान 4 जोड़ने से औसत 4 से बढ़ता है: 15 + 4 = 19।
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Topic 02

Change & Replacement of Members

The most-tested type: a member joins, leaves, or is replaced, and the average shifts. The key link is between the change in the average and the change in the total.सबसे अधिक पूछा जाने वाला प्रकार: कोई सदस्य जुड़ता, छोड़ता या बदला जाता है, और औसत खिसकता है। मुख्य कड़ी औसत में परिवर्तन और योग में परिवर्तन के बीच है।

Replacement / entry ruleप्रतिस्थापन / प्रवेश नियम
Change in total = (Change in average) × (Number of members after the change)
योग में परिवर्तन = (औसत में परिवर्तन) × (परिवर्तन के बाद सदस्यों की संख्या)।
◆ Worked example — a new inningsहल किया उदाहरण — एक नई पारी

A batsman's average after 25 innings is 46. In the 26th innings his average rises to 48. How many runs did he score in the 26th innings?25 पारियों के बाद एक बल्लेबाज़ का औसत 46 है। 26वीं पारी में औसत बढ़कर 48 हो जाता है। 26वीं पारी में उसने कितने रन बनाए?

  1. New total = 26 × 48 = 1248; old total = 25 × 46 = 1150.नया योग = 26 × 48 = 1248; पुराना योग = 25 × 46 = 1150।
  2. Runs in 26th = 1248 − 1150 = 98. (Short form: new average 48 + old count 25 × rise 2 = 48 + 50 = 98.)26वीं में रन = 1248 − 1150 = 98। (संक्षेप: नया औसत 48 + पुरानी गिनती 25 × वृद्धि 2 = 48 + 50 = 98।)
✔ The new value = new average + (old count × rise in average). A drop uses a minus sign.✔ नया मान = नया औसत + (पुरानी गिनती × औसत में वृद्धि)। गिरावट पर ऋण चिन्ह।
Common slip.आम भूल। When a member is deleted, the "count after the change" is the smaller one. Deleting one person from 27 whose average falls by 1 → the deleted value = 162 + 26 × 1 = 188, using the remaining 26, not 27. जब कोई सदस्य हटाया जाए, तो "परिवर्तन के बाद गिनती" छोटी वाली होती है। 27 में से एक हटाने पर औसत 1 घटे → हटाया मान = 162 + 26 × 1 = 188, शेष 26 से, 27 से नहीं।
📝 Quick self-testत्वरित स्वयं-परीक्षण 2 MCQs

The average height of 27 persons is 162 cm. When one person leaves, the average drops by 1 cm. That person's height was:27 व्यक्तियों की औसत ऊँचाई 162 सेमी है। एक व्यक्ति के जाने पर औसत 1 सेमी घट जाता है। उस व्यक्ति की ऊँचाई थी:

  1. 184 cm
  2. 179 cm
  3. 188 cm
  4. 186 cm
✔ C. Old total = 27 × 162 = 4374; new total = 26 × 161 = 4186; height = 4374 − 4186 = 188 cm.✔ C. पुराना योग = 27 × 162 = 4374; नया योग = 26 × 161 = 4186; ऊँचाई = 4374 − 4186 = 188 सेमी।

A cricketer's average of 10 innings is a. He scores 108 in the 11th innings and his average rises by 8. His new average is:एक क्रिकेटर का 10 पारियों का औसत a है। वह 11वीं पारी में 108 रन बनाता है और उसका औसत 8 बढ़ जाता है। उसका नया औसत है:

  1. 28
  2. 20
  3. 36
  4. 30
✔ A. 11(a + 8) = 10a + 108 → 11a + 88 = 10a + 108 → a = 20; new average = 20 + 8 = 28.✔ A. 11(a + 8) = 10a + 108 → 11a + 88 = 10a + 108 → a = 20; नया औसत = 20 + 8 = 28।
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Topic 03

Average Speed, Ages, Series & Weighted Average

Average speedऔसत चाल

Average speedऔसत चाल
Average speed = (Total distance) ÷ (Total time)  —   for equal distances at speeds x and y: = 2xy ÷ (x + y)
औसत चाल = (कुल दूरी) ÷ (कुल समय) — समान दूरी पर चाल x और y हों तो = 2xy ÷ (x + y)।
Neverकभी नहीं। average two speeds as (x + y)/2 when the distances are equal. Going 40 km/h and returning 60 km/h gives 2·40·60 ÷ 100 = 48 km/h, not 50. समान दूरी पर दो चालों का औसत (x + y)/2 न लें। 40 किमी/घं जाकर 60 किमी/घं लौटने पर 2·40·60 ÷ 100 = 48 किमी/घं, 50 नहीं।

Consecutive-number seriesक्रमागत-संख्या श्रृंखला

1
First n natural numbersपहली n प्राकृत संख्याएँ — average = (n + 1)/2औसत = (n + 1)/2
2
First n even numbersपहली n सम संख्याएँ — average = n + 1औसत = n + 1
3
First n odd numbersपहली n विषम संख्याएँ — average = nऔसत = n
4
Any evenly-spaced runकोई भी समान-अंतराल श्रृंखला — average = (first + last)/2 = middle termऔसत = (पहला + अंतिम)/2 = मध्य पद

For any list of consecutive (or evenly-spaced) numbers, you never need to add them — the average is just the middle term, or the average of the first and last.किसी भी क्रमागत (या समान-अंतराल) संख्याओं की सूची के लिए उन्हें जोड़ने की ज़रूरत नहीं — औसत केवल मध्य पद है, या पहले और अंतिम का औसत।

Weighted / combined averageभारित / संयुक्त औसत

Combining two groupsदो समूहों को जोड़ना
Combined average = (n₁ × A₁ + n₂ × A₂) ÷ (n₁ + n₂)
संयुक्त औसत = (n₁ × A₁ + n₂ × A₂) ÷ (n₁ + n₂)।
◆ Worked example — group left outहल किया उदाहरण — छूटा हुआ समूह

80 boys have an average age of 15. A group of 15 boys averages 16 and another 25 averages 14. Find the average of the remaining 40.80 लड़कों की औसत आयु 15 है। 15 लड़कों का समूह औसत 16 और अन्य 25 का औसत 14। शेष 40 का औसत निकालें।

  1. Whole total = 80 × 15 = 1200. Subtract the two known groups: 15 × 16 = 240 and 25 × 14 = 350.पूरा योग = 80 × 15 = 1200। दो ज्ञात समूह घटाएँ: 15 × 16 = 240 और 25 × 14 = 350।
  2. Remaining total = 1200 − 240 − 350 = 610 for 40 boys → average = 610 ÷ 40 = 15.25.शेष योग = 1200 − 240 − 350 = 610, 40 लड़कों के लिए → औसत = 610 ÷ 40 = 15.25।
✔ Turn every group into a total, add or subtract totals, then divide by the head-count you want.✔ हर समूह को योग में बदलें, योगों को जोड़ें/घटाएँ, फिर जो गिनती चाहिए उससे भाग दें।
📝 Quick self-testत्वरित स्वयं-परीक्षण 2 MCQs

A car covers a distance at 40 km/h and returns along the same road at 60 km/h. Its average speed for the whole trip is:एक कार 40 किमी/घं से दूरी तय करती है और उसी सड़क पर 60 किमी/घं से लौटती है। पूरी यात्रा की औसत चाल है:

  1. 50 km/h
  2. 52 km/h
  3. 48 km/h
  4. 45 km/h
✔ C. Equal distances → 2xy/(x+y) = 2·40·60/100 = 4800/100 = 48 km/h.✔ C. समान दूरी → 2xy/(x+y) = 2·40·60/100 = 4800/100 = 48 किमी/घं।

The average of the first 15 even natural numbers (2, 4, …, 30) is:पहली 15 सम प्राकृत संख्याओं (2, 4, …, 30) का औसत है:

  1. 15
  2. 16
  3. 14
  4. 30
✔ B. Average of first n even numbers = n + 1 = 15 + 1 = 16 (also (2 + 30)/2 = 16).✔ B. पहली n सम संख्याओं का औसत = n + 1 = 15 + 1 = 16 (यानी (2 + 30)/2 = 16)।

Test Yourself · Average

20 questions on averages, deviation, replacement, average speed, ages and consecutive-number series. Take 5 at a time; tap an option to check, then read Why.

औसत, विचलन, प्रतिस्थापन, औसत चाल, आयु और क्रमागत-संख्या श्रृंखला पर 20 प्रश्न। एक बार में 5 लें; जाँचने के लिए विकल्प पर टैप करें, फिर Why पढ़ें।