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Quantitative Aptitude · Chapter 17 · Alligation & Mixtures

Alligation & Mixtures

When you blend two things of different value — cheap rice with costly rice, milk with water — the mixture takes a value in between. Alligation is a quick rule that tells you in what ratio to mix them to hit a target value, using nothing but subtraction. Add the repeated-replacement formula and you can handle almost every milk-and-water problem in the exam.जब आप भिन्न मूल्य की दो चीज़ें मिलाते हैं — सस्ता चावल महँगे चावल के साथ, दूध पानी के साथ — तो मिश्रण का मूल्य बीच में आ जाता है। अपमिश्रण एक तेज़ नियम है जो बताता है कि लक्ष्य मूल्य पाने के लिए उन्हें किस अनुपात में मिलाएँ, केवल घटाव से। बार-बार प्रतिस्थापन सूत्र जोड़ लें और आप परीक्षा की लगभग हर दूध-पानी समस्या हल कर सकते हैं।
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Topic 01

The Rule of Alligation

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Alligation is really weighted average, read backwards. When a cheaper item (price C) and a dearer item (price D) mix to a mean price M, the quantities needed are in this ratio:अपमिश्रण असल में उल्टा पढ़ा गया भारित औसत है। जब सस्ती वस्तु (मूल्य C) और महँगी वस्तु (मूल्य D) मिलकर माध्य मूल्य M बनाएँ, तो आवश्यक मात्राएँ इस अनुपात में होती हैं:

Rule of alligationअपमिश्रण का नियम
(Quantity of cheaper) ÷ (Quantity of dearer) = (D − M) ÷ (M − C)
(सस्ते की मात्रा) ÷ (महँगे की मात्रा) = (D − M) ÷ (M − C)।
The alligation cross — sugar ₹16 and ₹21 mixed to ₹19/kgअपमिश्रण क्रॉस — चीनी ₹16 और ₹21 मिलकर ₹19/किग्रा
Cheaper16 Dearer21 Mean19 D − M = 2 M − C = 3 cheaper : dearer = 2 : 3
◆ How to read the crossक्रॉस कैसे पढ़ें
  1. Put the cheaper price top-left, the dearer top-right, the mean in the middle.सस्ता मूल्य ऊपर-बाएँ, महँगा ऊपर-दाएँ, माध्य बीच में रखें।
  2. Take the two diagonal differences: (D − M) = 21 − 19 = 2 sits under the cheaper; (M − C) = 19 − 16 = 3 sits under the dearer.दो विकर्ण अंतर लें: (D − M) = 2 सस्ते के नीचे; (M − C) = 3 महँगे के नीचे।
  3. So cheaper : dearer = 2 : 3.अतः सस्ता : महँगा = 2 : 3।
✔ The difference on the far side belongs to each item — the ratio always comes out "cheaper : dearer".✔ दूर वाला अंतर हर वस्तु का होता है — अनुपात हमेशा "सस्ता : महँगा" निकलता है।
Profit & loss link.लाभ-हानि से कड़ी। Alligation also mixes profit rates. Selling one part at 10% loss and another at 20% profit for an overall 15% profit? Treat −10 and +20 as C and D and 15 as the mean. अपमिश्रण लाभ दरों को भी मिलाता है। एक भाग 10% हानि पर और दूसरा 20% लाभ पर बेचकर कुल 15% लाभ? −10 और +20 को C और D तथा 15 को माध्य मानें।
📝 Quick self-testत्वरित स्वयं-परीक्षण 2 MCQs

In what ratio must sugar at ₹16/kg be mixed with sugar at ₹21/kg to make a mixture worth ₹19/kg?₹16/किग्रा की चीनी को ₹21/किग्रा की चीनी के साथ किस अनुपात में मिलाएँ कि मिश्रण ₹19/किग्रा का हो?

  1. 3 : 2
  2. 2 : 3
  3. 5 : 3
  4. 1 : 2
✔ B. (21 − 19) : (19 − 16) = 2 : 3.✔ B. (21 − 19) : (19 − 16) = 2 : 3।

A goldsmith has 12-carat and 16-carat gold. In what ratio must he mix them to make a 15-carat ornament?एक सुनार के पास 12-कैरेट और 16-कैरेट सोना है। 15-कैरेट का आभूषण बनाने के लिए उन्हें किस अनुपात में मिलाना होगा?

  1. 3 : 1
  2. 1 : 2
  3. 2 : 3
  4. 1 : 3
✔ D. (16 − 15) : (15 − 12) = 1 : 3 (twelve-carat : sixteen-carat).✔ D. (16 − 15) : (15 − 12) = 1 : 3 (बारह-कैरेट : सोलह-कैरेट)।
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Topic 02

Mixtures Without Replacement

These are the simplest mixture questions: you just add more of one ingredient (usually water) and re-form the ratio. The trick is to notice that the other ingredient stays fixed — its amount does not change, so use it as your anchor.ये सबसे सरल मिश्रण प्रश्न हैं: आप बस एक घटक (आमतौर पर पानी) और मिलाते हैं और अनुपात दोबारा बनाते हैं। तरकीब यह है कि दूसरा घटक स्थिर रहता है — उसकी मात्रा नहीं बदलती, इसलिए उसे आधार बनाएँ।

◆ Worked example — adding waterहल किया उदाहरण — पानी मिलाना

A 420 L mixture has milk and water in the ratio 6 : 1. How much water must be added to make the ratio 2 : 1?420 लीटर मिश्रण में दूध और पानी 6 : 1 अनुपात में हैं। अनुपात 2 : 1 करने के लिए कितना पानी मिलाना होगा?

  1. Split 420 in 6 : 1 → milk = 360 L, water = 60 L. The milk will not change.420 को 6 : 1 में बाँटें → दूध = 360 L, पानी = 60 L। दूध नहीं बदलेगा।
  2. We want milk : water = 2 : 1, i.e. water must be half the milk = 360 ÷ 2 = 180 L.हमें दूध : पानी = 2 : 1 चाहिए, यानी पानी दूध का आधा = 360 ÷ 2 = 180 L।
  3. Water to add = 180 − 60 = 120 L.मिलाने योग्य पानी = 180 − 60 = 120 L।
✔ Anchor on the unchanged ingredient (milk), find the new required amount of the other, then subtract what is already there.✔ न बदलने वाले घटक (दूध) को आधार बनाएँ, दूसरे की नई आवश्यक मात्रा निकालें, फिर जो पहले से है उसे घटाएँ।
📝 Quick self-testत्वरित स्वयं-परीक्षण 2 MCQs

A 40 L mixture has milk and water in the ratio 3 : 1. How much water should be added so that the ratio becomes 2 : 1?40 लीटर मिश्रण में दूध और पानी 3 : 1 अनुपात में हैं। अनुपात 2 : 1 करने के लिए कितना पानी मिलाना चाहिए?

  1. 10 L
  2. 15 L
  3. 5 L
  4. 8 L
✔ C. Milk 30 L, water 10 L. For 2 : 1 water must be 15 L → add 15 − 10 = 5 L.✔ C. दूध 30 L, पानी 10 L। 2 : 1 के लिए पानी 15 L चाहिए → मिलाएँ 15 − 10 = 5 L।

729 mL of a mixture has milk and water in the ratio 7 : 2. How much water must be added to make the ratio 7 : 3?729 मि.ली. मिश्रण में दूध और पानी 7 : 2 अनुपात में हैं। अनुपात 7 : 3 करने के लिए कितना पानी मिलाना होगा?

  1. 81 mL
  2. 162 mL
  3. 243 mL
  4. 108 mL
✔ A. Milk = 7/9 × 729 = 567, water = 162. For 7 : 3, water = 567 × 3/7 = 243 → add 243 − 162 = 81 mL.✔ A. दूध = 567, पानी = 162। 7 : 3 के लिए पानी = 243 → मिलाएँ 243 − 162 = 81 मि.ली.।
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Topic 03

Repeated Replacement

Now the classic: a vessel is full of milk; you draw out some litres and top it back up with water, and repeat. Each time, the milk you remove is part milk and part water, so a formula is far safer than tracking litres by hand.अब वह क्लासिक प्रश्न: एक बर्तन दूध से भरा है; आप कुछ लीटर निकालते हैं और पानी से भर देते हैं, और दोहराते हैं। हर बार जो दूध निकलता है वह कुछ दूध और कुछ पानी होता है, इसलिए हाथ से लीटर गिनने की बजाय सूत्र कहीं सुरक्षित है।

Repeated-replacement formulaबार-बार प्रतिस्थापन सूत्र
Milk left after n operations = V × (1 − x/V)ⁿ   ·   where V = full volume, x = litres replaced each time
n बार के बाद बचा दूध = V × (1 − x/V)ⁿ · जहाँ V = पूरा आयतन, x = हर बार बदले गए लीटर।

It has exactly the shape of compound interest, except the quantity shrinks each round instead of growing.इसका रूप बिल्कुल चक्रवृद्धि ब्याज जैसा है, बस मात्रा हर बार बढ़ने के बजाय घटती है।

◆ Worked exampleहल किया उदाहरण

A container has 60 kg of milk. 6 kg is removed and replaced by water; this is done two more times (three times in all). How much milk remains?एक पात्र में 60 किग्रा दूध है। 6 किग्रा निकालकर पानी से बदला जाता है; यह दो बार और (कुल तीन बार) किया जाता है। कितना दूध बचता है?

  1. Here V = 60, x = 6, n = 3. Ratio left each time = 1 − 6/60 = 9/10.यहाँ V = 60, x = 6, n = 3। हर बार बचा अनुपात = 1 − 6/60 = 9/10।
  2. Milk left = 60 × (9/10)³ = 60 × 0.729 = 43.74 kg.बचा दूध = 60 × (9/10)³ = 60 × 0.729 = 43.74 किग्रा।
✔ Raise the "fraction that survives" to the power n. Never subtract 6 kg three times — that ignores the water drawn out later.✔ "बचने वाले अंश" को n घात दें। 6 किग्रा तीन बार मत घटाएँ — वह बाद में निकले पानी को अनदेखा करता है।
📝 Quick self-testत्वरित स्वयं-परीक्षण 2 MCQs

A vessel has 50 L of pure milk. 5 L is drawn out and replaced by water, three times in all. The milk now left is:एक बर्तन में 50 लीटर शुद्ध दूध है। 5 लीटर निकालकर पानी से बदला जाता है, कुल तीन बार। अब बचा दूध है:

  1. 40.5 L
  2. 45 L
  3. 36.45 L
  4. 32.8 L
✔ C. 50 × (1 − 5/50)³ = 50 × (9/10)³ = 50 × 0.729 = 36.45 L.✔ C. 50 × (9/10)³ = 50 × 0.729 = 36.45 L।

81 L of pure milk has 1/3 removed and replaced by water; then again 1/3 of the mixture is removed and replaced by water. The final ratio milk : water is:81 लीटर शुद्ध दूध का 1/3 निकालकर पानी से बदला जाता है; फिर मिश्रण का 1/3 फिर निकालकर पानी से बदला जाता है। अंतिम दूध : पानी अनुपात है:

  1. 4 : 5
  2. 1 : 1
  3. 2 : 1
  4. 5 : 4
✔ A. Milk = 81 × (2/3)² = 81 × 4/9 = 36; water = 81 − 36 = 45 → 36 : 45 = 4 : 5.✔ A. दूध = 81 × (2/3)² = 36; पानी = 45 → 36 : 45 = 4 : 5।

Test Yourself · Alligation & Mixtures

20 questions on the rule of alligation, mean price, mixing, alloys and repeated replacement. Take 5 at a time; tap an option to check, then read Why.

अपमिश्रण नियम, माध्य मूल्य, मिश्रण, मिश्रधातु और बार-बार प्रतिस्थापन पर 20 प्रश्न। एक बार में 5 लें; जाँचने के लिए विकल्प पर टैप करें, फिर Why पढ़ें।