Algebra

In arithmetic we work with numbers only. In algebra we also use letters that stand for numbers. A letter whose value can change is a variable (like x); a fixed number is a constant. When we join variables and constants with +, −, × and powers, we get an algebraic expression, such as 3x² + 5x − 7.अंकगणित में हम केवल संख्याओं के साथ काम करते हैं। बीजगणित में हम अक्षरों का भी उपयोग करते हैं जो संख्याओं के लिए होते हैं। जिस अक्षर का मान बदल सकता है वह चर है (जैसे x); एक निश्चित संख्या अचर है। जब हम चरों और अचरों को +, −, × और घातों से जोड़ते हैं, तो एक बीजीय व्यंजक बनता है, जैसे 3x² + 5x − 7।

Each part joined by + or − is a term (3x², 5x and −7 are the three terms). The number in front of a variable is its coefficient (the coefficient of x² is 3). A polynomial is an expression in which every power of the variable is a non-negative whole number — so 3x² + 5x − 7 is a polynomial, but 3/x and √x are not.+ या − से जुड़ा हर भाग एक पद है (3x², 5x और −7 तीन पद हैं)। चर के आगे की संख्या उसका गुणांक है (x² का गुणांक 3 है)। एक बहुपद वह व्यंजक है जिसमें चर की हर घात एक अऋणात्मक पूर्ण संख्या हो — इसलिए 3x² + 5x − 7 एक बहुपद है, पर 3/x और √x नहीं।

The degree is the highest power of the variable. It decides the polynomial's family and even the shape of its graph:घात चर की सबसे बड़ी घात है। यह बहुपद के परिवार और उसके ग्राफ के आकार तक को तय करती है:

• Degree 1 — linear (e.g. 2x + 3). Its graph is a straight line.घात 1 — रैखिक (जैसे 2x + 3)। इसका ग्राफ एक सीधी रेखा है।
• Degree 2 — quadratic (e.g. x² − 5x + 6). Its graph is a curve called a parabola.घात 2 — द्विघात (जैसे x² − 5x + 6)। इसका ग्राफ परवलय नामक वक्र है।
• Degree 3 — cubic (e.g. x³ − 1). Higher degrees follow the same idea.घात 3 — घन (जैसे x³ − 1)। ऊँची घातें भी यही विचार अपनाती हैं।

This is the most important section in the chapter — the algebra version of a toolkit. An identity is an equation that is true for every value of the letters (unlike an ordinary equation, which is true for only some values). The whole skill is to recognise which identity fits the expression in front of you, and then use it. Learn these by heart; the rest of the chapter leans on them.यह अध्याय का सबसे महत्वपूर्ण भाग है — बीजगणित का उपकरण-समूह। एक सर्वसमिका वह समीकरण है जो अक्षरों के हर मान के लिए सत्य होती है (साधारण समीकरण के विपरीत, जो केवल कुछ मानों के लिए सत्य होता है)। पूरा कौशल यह है कि सामने दिए व्यंजक पर कौन-सी सर्वसमिका फिट होती है यह पहचानो, फिर उसका उपयोग करो। इन्हें कंठस्थ करें; शेष अध्याय इन्हीं पर टिका है।

These two short theorems let you find a remainder, or test a factor, without doing long division. They save a lot of time in the exam.ये दो छोटे प्रमेय आपको लंबा भाग किए बिना शेषफल निकालने या गुणनखंड जाँचने देते हैं। ये परीक्षा में बहुत समय बचाते हैं।

In words: to find the remainder, just put the value that makes the divisor zero into the polynomial. That single substitution is the whole method.शब्दों में: शेषफल निकालने के लिए, बस वह मान बहुपद में रखो जो भाजक को शून्य बनाता है। वही एक प्रतिस्थापन पूरी विधि है।

This is just the remainder theorem taken further: if the remainder is zero, the divisor divides the polynomial exactly, so it is a factor. So "is (x − a) a factor?" always means "check whether p(a) = 0".यह शेषफल प्रमेय का ही अगला कदम है: यदि शेषफल शून्य हो, तो भाजक बहुपद को पूरा-पूरा विभाजित करता है, अतः वह गुणनखंड है। इसलिए "क्या (x − a) गुणनखंड है?" का अर्थ हमेशा "जाँचो कि p(a) = 0 है या नहीं" होता है।

This is the single most common algebra question in SSC. The pattern is always the same: you are given x + 1/x (or x − 1/x), and asked for x² + 1/x², x³ ± 1/x³ or x⁴ + 1/x⁴. You never find x itself. You climb a short ladder of identities. Learn the ladder once and this whole family becomes automatic.यह SSC में सबसे अधिक आने वाला बीजगणित प्रश्न है। पैटर्न हमेशा एक जैसा होता है: आपको x + 1/x (या x − 1/x) दिया जाता है, और x² + 1/x², x³ ± 1/x³ या x⁴ + 1/x⁴ पूछा जाता है। आप x स्वयं कभी नहीं निकालते। आप सर्वसमिकाओं की एक छोटी सीढ़ी चढ़ते हैं। सीढ़ी एक बार सीख लें और यह पूरा परिवार स्वतः हो जाता है।

A conditional identity is true only when a special condition holds. SSC loves two of them. Recognising the condition turns a scary-looking question into a one-line answer.एक सप्रतिबंध सर्वसमिका केवल तभी सत्य होती है जब कोई विशेष शर्त पूरी हो। SSC इनमें से दो को बहुत पसंद करता है। शर्त पहचान लेने से डरावना दिखने वाला प्रश्न एक-पंक्ति उत्तर बन जाता है।

Also learn the "reverse" facts: if a³ + b³ + c³ = 3abc, then either a + b + c = 0 or a = b = c. And if a² + b² + c² = ab + bc + ca, then a = b = c."उल्टे" तथ्य भी सीखें: यदि a³ + b³ + c³ = 3abc, तो या तो a + b + c = 0 या a = b = c। और यदि a² + b² + c² = ab + bc + ca, तो a = b = c।

A surd is a root that cannot be written as a neat fraction, such as √2 or √3. Surd questions are very common, and they usually feed into the x + 1/x machine from Topic 04. Three skills cover almost all of them: rationalising, spotting a perfect-square surd, and the laws of indices.एक करणी वह मूल है जिसे साफ़ भिन्न के रूप में नहीं लिखा जा सकता, जैसे √2 या √3। करणी प्रश्न बहुत आम हैं, और वे प्रायः टॉपिक 04 वाली x + 1/x मशीन में जाते हैं। तीन कौशल इनमें से लगभग सभी को ढँक लेते हैं: परिमेयकरण, पूर्ण-वर्ग करणी पहचानना, और घातांक के नियम।

To remove a surd from a denominator, multiply the top and bottom by its conjugate (the same two terms with the opposite sign). The pair (√a + √b)(√a − √b) = a − b has no surd left. Example: 1/(2 + √3) × (2 − √3)/(2 − √3) = (2 − √3)/(4 − 3) = 2 − √3.हर से करणी हटाने के लिए, अंश और हर को उसके संयुग्मी (वही दो पद, विपरीत चिह्न के साथ) से गुणा करें। युग्म (√a + √b)(√a − √b) = a − b में कोई करणी नहीं बचती। उदाहरण: 1/(2 + √3) × (2 − √3)/(2 − √3) = (2 − √3)/(4 − 3) = 2 − √3।

Many surds are secretly a square. To simplify √(m ± 2√n), find two numbers p and q with p + q = m and p × q = n; then m ± 2√n = (√p ± √q)². Example: 7 + 4√3 = 7 + 2√12, where p + q = 7 and pq = 12 give p = 4, q = 3, so 7 + 4√3 = (2 + √3)² and √(7 + 4√3) = 2 + √3.कई करणियाँ गुप्त रूप से एक वर्ग होती हैं। √(m ± 2√n) को सरल करने के लिए, दो संख्याएँ p और q खोजें जहाँ p + q = m और p × q = n; तब m ± 2√n = (√p ± √q)²। उदाहरण: 7 + 4√3 = 7 + 2√12, जहाँ p + q = 7 और pq = 12 देते हैं p = 4, q = 3, अतः 7 + 4√3 = (2 + √3)² और √(7 + 4√3) = 2 + √3।

Laws: aᵐ·aⁿ = aᵐ⁺ⁿ,  (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ,  a⁰ = 1,  a⁻ⁿ = 1/aⁿ. To solve an equation like 2ˣ = 32, write both sides on the same base: 2ˣ = 2⁵, so x = 5. For 125ˣ = 3125: 5³ˣ = 5⁵ → 3x = 5 → x = 5/3.नियम: aᵐ·aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ, a⁰ = 1, a⁻ⁿ = 1/aⁿ। 2ˣ = 32 जैसे समीकरण को हल करने के लिए, दोनों पक्ष एक ही आधार पर लिखें: 2ˣ = 2⁵, अतः x = 5। 125ˣ = 3125 के लिए: 5³ˣ = 5⁵ → 3x = 5 → x = 5/3।

A linear equation in two variables, like ax + by + c = 0, draws a straight line. When you have two such equations, the answer is where the two lines meet. There are exactly three possibilities, and a simple ratio test tells you which one you have — without drawing anything.दो चरों में एक रैखिक समीकरण, जैसे ax + by + c = 0, एक सीधी रेखा खींचता है। जब आपके पास दो ऐसे समीकरण हों, तो उत्तर वहाँ है जहाँ दोनों रेखाएँ मिलती हैं। ठीक तीन संभावनाएँ होती हैं, और एक सरल अनुपात-जाँच बता देती है कि कौन-सी है — बिना कुछ बनाए।

A quadratic equation has the form ax² + bx + c = 0 (with a ≠ 0). Its two answers are called its roots. Its graph is a U-shaped curve, a parabola, and the roots are exactly where the curve crosses the x-axis. For the exam you rarely need to find the roots one by one — you use their sum and product directly.एक द्विघात समीकरण का रूप ax² + bx + c = 0 होता है (जहाँ a ≠ 0)। इसके दो उत्तरों को इसके मूल कहते हैं। इसका ग्राफ U-आकार का वक्र, एक परवलय है, और मूल ठीक वहाँ हैं जहाँ वक्र x-अक्ष को काटता है। परीक्षा के लिए आपको मूल एक-एक करके निकालने की शायद ही ज़रूरत पड़ती है — आप उनके योग और गुणनफल का सीधे उपयोग करते हैं।

Coordinate geometry places every point on a grid using a pair of numbers (x, y). It appears in the syllabus and gives easy marks when asked, though SSC asks it less often than the identity topics above. A couple of formulas cover most questions.निर्देशांक ज्यामिति हर बिंदु को संख्याओं की एक जोड़ी (x, y) से एक ग्रिड पर रखती है। यह पाठ्यक्रम में है और पूछे जाने पर आसान अंक देती है, यद्यपि SSC इसे ऊपर के सर्वसमिका टॉपिकों से कम पूछता है। कुछ सूत्र अधिकांश प्रश्नों को ढँक लेते हैं।

Algebra is fast when you recognise the pattern instead of grinding. These habits turn "hard" questions into short ones.बीजगणित तब तेज़ होता है जब आप जूझने के बजाय पैटर्न पहचानते हैं। ये आदतें "कठिन" प्रश्नों को छोटा बना देती हैं।

• Uncover x + 1/x. If you see a quadratic like x² − 5x + 1 = 0, divide by x to get x + 1/x = 5. If you see a surd like x = 2 + √3, its reciprocal 2 − √3 gives x + 1/x = 4. Then climb the ladder.x + 1/x उजागर करें। यदि x² − 5x + 1 = 0 जैसा द्विघात दिखे, तो x से भाग देकर x + 1/x = 5 पाएँ। यदि x = 2 + √3 जैसी करणी दिखे, तो इसका व्युत्क्रम 2 − √3 देता है x + 1/x = 4। फिर सीढ़ी चढ़ें।
• See a square hiding in a surd. 7 + 4√3 = (2 + √3)², 11 + 6√2 = (3 + √2)². Take the root by inspection instead of squaring options.करणी में छिपा वर्ग देखें। 7 + 4√3 = (2 + √3)², 11 + 6√2 = (3 + √2)²। विकल्पों का वर्ग करने के बजाय देखकर मूल लें।
• A sum of squares = 0 means each is 0. This one line solves the whole family of "a² + b² + c² + … = …" questions instantly.वर्गों का योग = 0 का अर्थ है हर वर्ग = 0। यह एक पंक्ति "a² + b² + c² + … = …" वाले पूरे परिवार को तुरंत हल कर देती है।
• Match the constant to x. To evaluate x⁴ − 17x³ + 17x² − 17x + 17 at x = 16, notice 17 = x + 1 and the terms collapse to 1. Likewise 99 × (99² + 3·99 + 3) = 100³ − 1.अचर को x से मिलाएँ। x = 16 पर x⁴ − 17x³ + 17x² − 17x + 17 निकालने के लिए, ध्यान दें 17 = x + 1 और पद 1 में सिमट जाते हैं। इसी तरह 99 × (99² + 3·99 + 3) = 100³ − 1।
• Mind the sign in x − 1/x. If x − 1/x = n, then x² + 1/x² = n² + 2 (add 2). The wrong-sign value is always an option — do not fall for it.x − 1/x में चिह्न का ध्यान रखें। यदि x − 1/x = n, तो x² + 1/x² = n² + 2 (2 जोड़ें)। गलत-चिह्न वाला मान हमेशा एक विकल्प होता है — उसमें न फँसें।