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Reasoning · Missing Number in Figures · आकृति में लुप्त संख्या

Missing Number

Here a number is missing inside a figure — a triangle, circle, tree or box. The trick is always the same: use the COMPLETE figures to discover the hidden operation, then apply that same operation to the figure with the "?".यहाँ किसी आकृति — त्रिभुज, वृत्त, वृक्ष या बॉक्स — के अंदर एक संख्या लुप्त होती है। तरकीब हमेशा एक ही है: पूरी आकृतियों से छिपी संक्रिया खोजें, फिर वही संक्रिया "?" वाली आकृति पर लगाएँ।
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Topic 01

How to Crack a Figure Puzzleआकृति पहेली कैसे हल करें

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  • There are usually two or three complete figures and one figure with a "?".आमतौर पर दो या तीन पूरी आकृतियाँ और एक "?" वाली आकृति होती है।
  • Test the complete figures for a rule (+, −, ×, ÷, squares, cubes) that connects the outer numbers to the inner one.पूरी आकृतियों पर कोई नियम (+, −, ×, ÷, वर्ग, घन) जाँचें जो बाहरी संख्याओं को अंदर वाली से जोड़े।
  • The rule must fit every complete figure — only then apply it to the "?".नियम हर पूरी आकृति पर लगना चाहिए — तभी उसे "?" पर लगाएँ।
Method · विधि
1. Read the complete figures   2. Find the operation that works for ALL   3. Apply it to the "?"1. पूरी आकृतियाँ पढ़ें · 2. वह संक्रिया खोजें जो सब पर लगे · 3. "?" पर लगाएँ।
📝 Quick self-test 4 MCQs

To find a missing number in a figure, from where do you first work out the hidden rule?आकृति में लुप्त संख्या पाने के लिए, छिपे नियम को पहले कहाँ से निकालते हैं?

  1. From the "?" figure"?" वाली आकृति से
  2. From the complete figuresपूरी आकृतियों से
  3. By guessingअनुमान से
  4. From the options onlyकेवल विकल्पों से
✔ B. From the complete figures — they reveal the operation you then apply to the "?".✔ B. पूरी आकृतियों से — वे वह संक्रिया बताती हैं जिसे आप "?" पर लगाते हैं।

A rule you have guessed is correct only if it fits:आपका अनुमानित नियम केवल तभी सही है जब वह लगे:

  1. One complete figureएक पूरी आकृति पर
  2. All the complete figuresसभी पूरी आकृतियों पर
  3. Only the first figureकेवल पहली आकृति पर
  4. The "?" figure"?" वाली आकृति पर
✔ B. All the complete figures — a rule fitting only one figure may be a coincidence.✔ B. सभी पूरी आकृतियों पर — केवल एक पर लगने वाला नियम संयोग हो सकता है।

Practice A puzzle has three complete figures and one with a "?". Where should you look first to find the rule?Practice एक पहेली में तीन पूरी आकृतियाँ और एक "?" वाली है। नियम पाने के लिए पहले कहाँ देखें?

  1. The complete figuresपूरी आकृतियाँ
  2. The "?" figure"?" वाली आकृति
  3. The options onlyकेवल विकल्प
  4. The largest numberसबसे बड़ी संख्या
✔ A. The complete figures — they reveal the rule you then apply to the "?".✔ A. पूरी आकृतियाँ — वे वह नियम बताती हैं जिसे आप "?" पर लगाते हैं।

Practice A rule that fits only ONE of the three complete figures is:Practice जो नियम तीन में से केवल एक पूरी आकृति पर लगे वह है:

  1. Probably wrong (a coincidence)संभवतः गलत (संयोग)
  2. Definitely correctनिश्चित सही
  3. The final answerअंतिम उत्तर
  4. Always rightहमेशा सही
✔ A. Probably wrong — a rule must fit ALL the complete figures to be trusted.✔ A. संभवतः गलत — नियम पर भरोसा तभी जब वह सभी पूरी आकृतियों पर लगे।
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Topic 02

Trianglesत्रिभुज

  • Numbers sit at the corners and one number is inside the triangle.संख्याएँ कोनों पर होती हैं और एक संख्या त्रिभुज के अंदर होती है।
  • Common rules: (product of corners) + something, or a difference of squares.सामान्य नियम: (कोनों का गुणनफल) + कुछ, या वर्गों का अंतर।
Worked example · हल उदाहरण

Rule = (corner × corner) + bottom. If corners 3, 5 and bottom 2 give centre 3×5+2 = 17, and corners 8, 3 with bottom 5 give 8×3+5 = 29, then for corners 7, 6 with centre 51 the bottom = 51 − 42 = 9.

नियम = (कोना × कोना) + नीचे। यदि कोने 3, 5 और नीचे 2 से केंद्र 3×5+2 = 17, और कोने 8, 3 व नीचे 5 से 8×3+5 = 29, तो कोने 7, 6 व केंद्र 51 के लिए नीचे = 51 − 42 = 9।

📝 Quick self-test 4 MCQs

In a triangle the centre = product of the two corners. If corners 4 and 6 give 24, what is the centre for corners 7 and 8?त्रिभुज में केंद्र = दो कोनों का गुणनफल। यदि कोने 4 और 6 से 24 मिलता है, तो कोने 7 और 8 का केंद्र क्या है?

  1. 1515
  2. 4848
  3. 5454
  4. 5656
✔ D. 56 — the rule is corner × corner, so 7 × 8 = 56.✔ D. 56 — नियम कोना × कोना है, अतः 7 × 8 = 56।

In a triangle the centre = (top corner)² − (other corner)². For corners 16 and 7, the centre is:त्रिभुज में केंद्र = (ऊपरी कोना)² − (दूसरा कोना)²। कोने 16 और 7 के लिए केंद्र है:

  1. 2323
  2. 207207
  3. 305305
  4. 112112
✔ B. 207 — 16² − 7² = 256 − 49 = 207.✔ B. 207 — 16² − 7² = 256 − 49 = 207।

Practice In a triangle, centre = product of the corners. Corners 5 and 9 give a centre of:Practice त्रिभुज में केंद्र = कोनों का गुणनफल। कोने 5 और 9 से केंद्र मिलता है:

  1. 4545
  2. 1414
  3. 4040
  4. 5454
✔ A. 45 — 5 × 9 = 45.✔ A. 45 — 5 × 9 = 45।

Practice In a triangle, centre = a² − b². Corners 10 and 8 give a centre of:Practice त्रिभुज में केंद्र = a² − b²। कोने 10 और 8 से केंद्र मिलता है:

  1. 3636
  2. 44
  3. 164164
  4. 22
✔ A. 36 — 10² − 8² = 100 − 64 = 36.✔ A. 36 — 10² − 8² = 100 − 64 = 36।
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Topic 03

Number Treesसंख्या वृक्ष

  • A "tree" has two numbers on top, a middle number, and a bottom number."वृक्ष" में ऊपर दो संख्याएँ, एक मध्य संख्या, और एक नीचे संख्या होती है।
  • A very common rule: middle = top₁ − top₂ − bottom.बहुत सामान्य नियम: मध्य = ऊपर₁ − ऊपर₂ − नीचे।
Worked example · हल उदाहरण

Rule: middle = top₁ − top₂ − bottom. (93, 27, bottom 3) → 93 − 27 − 3 = 63; (79, 38, bottom 4) → 79 − 38 − 4 = 37.

नियम: मध्य = ऊपर₁ − ऊपर₂ − नीचे। (93, 27, नीचे 3) → 93 − 27 − 3 = 63; (79, 38, नीचे 4) → 79 − 38 − 4 = 37।

📝 Quick self-test 4 MCQs

Using middle = top₁ − top₂ − bottom, find the middle for tops 67, 16 and bottom 9.मध्य = ऊपर₁ − ऊपर₂ − नीचे प्रयोग करके, ऊपर 67, 16 और नीचे 9 के लिए मध्य ज्ञात करें।

  1. 4242
  2. 5151
  3. 3333
  4. 9292
✔ A. 42 — 67 − 16 − 9 = 42.✔ A. 42 — 67 − 16 − 9 = 42।

Using the same rule, find the middle for tops 55, 12 and bottom 3.उसी नियम से, ऊपर 55, 12 और नीचे 3 के लिए मध्य ज्ञात करें।

  1. 3838
  2. 4040
  3. 4343
  4. 4646
✔ B. 40 — 55 − 12 − 3 = 40.✔ B. 40 — 55 − 12 − 3 = 40।

Practice Number tree, middle = top₁ − top₂ − bottom. Tops 90, 30 and bottom 12 give a middle of:Practice संख्या वृक्ष, मध्य = ऊपर₁ − ऊपर₂ − नीचे। ऊपर 90, 30 और नीचे 12 से मध्य मिलता है:

  1. 4848
  2. 5050
  3. 4545
  4. 6060
✔ A. 48 — 90 − 30 − 12 = 48.✔ A. 48 — 90 − 30 − 12 = 48।

Practice Number tree, middle = top₁ + top₂ − bottom. Tops 25, 18 and bottom 7 give a middle of:Practice संख्या वृक्ष, मध्य = ऊपर₁ + ऊपर₂ − नीचे। ऊपर 25, 18 और नीचे 7 से मध्य मिलता है:

  1. 3636
  2. 5050
  3. 3030
  4. 4343
✔ A. 36 — 25 + 18 − 7 = 36.✔ A. 36 — 25 + 18 − 7 = 36।
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Topic 04

Circles & Wheelsवृत्त व पहिये

  • A circle is split into segments; the numbers often follow squares or cubes (1³, 2³, 3³…).वृत्त खंडों में बँटा होता है; संख्याएँ प्रायः वर्ग या घन (1³, 2³, 3³…) मानती हैं।
  • In wheel puzzles, the centre often equals an operation on the outer pair — e.g. (outer − outer)³.पहिया पहेलियों में केंद्र प्रायः बाहरी युग्म पर संक्रिया के बराबर होता है — जैसे (बाहरी − बाहरी)³।
Worked example · हल उदाहरण

A wheel's segments show 1, 8, 27, 64, 125, 216 (= 1³, 2³, 3³, 4³, 5³, 6³), so the next cube is 7³ = 343. In a (a − b)³ wheel, outer 11 and 6 give (11 − 6)³ = 125.

एक पहिये के खंड 1, 8, 27, 64, 125, 216 (= 1³, 2³, 3³, 4³, 5³, 6³) दिखाते हैं, अतः अगला घन 7³ = 343। (a − b)³ पहिये में बाहरी 11 और 6 से (11 − 6)³ = 125।

📝 Quick self-test 4 MCQs

A wheel shows 8, 27, 64, 125, 216 and one missing segment before 8. If these are cubes, the missing value is:एक पहिया 8, 27, 64, 125, 216 और 8 से पहले एक लुप्त खंड दिखाता है। यदि ये घन हैं, तो लुप्त मान है:

  1. 00
  2. 11
  3. 22
  4. 44
✔ B. 1 — the cubes run 1³, 2³, 3³, …; the one before 8 (=2³) is 1³ = 1.✔ B. 1 — घन 1³, 2³, 3³, … चलते हैं; 8 (=2³) से पहले वाला 1³ = 1 है।

In a wheel where centre = (outer − outer)³, outer numbers 9 and 6 give a centre of:एक पहिये में जहाँ केंद्र = (बाहरी − बाहरी)³, बाहरी संख्याएँ 9 और 6 से केंद्र मिलता है:

  1. 99
  2. 1818
  3. 2727
  4. 5454
✔ C. 27 — (9 − 6)³ = 3³ = 27.✔ C. 27 — (9 − 6)³ = 3³ = 27।

Practice A wheel shows cubes 1, 8, 27, 64, ?, 216. The missing value is:Practice एक पहिया घन 1, 8, 27, 64, ?, 216 दिखाता है। लुप्त मान है:

  1. 125125
  2. 100100
  3. 150150
  4. 128128
✔ A. 125 — the cubes run 1³ … 6³; the one between 64 and 216 is 5³ = 125.✔ A. 125 — घन 1³ … 6³ चलते हैं; 64 और 216 के बीच वाला 5³ = 125 है।

Practice In a wheel, centre = (a − b)³. Outer 13 and 9 give a centre of:Practice एक पहिये में, केंद्र = (a − b)³। बाहरी 13 और 9 से केंद्र मिलता है:

  1. 6464
  2. 44
  3. 1212
  4. 4848
✔ A. 64 — (13 − 9)³ = 4³ = 64.✔ A. 64 — (13 − 9)³ = 4³ = 64।
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Topic 05

Matrices & Boxesआव्यूह व बॉक्स

  • A box or grid gives numbers in rows/columns; usually the third value comes from the first two.बॉक्स या ग्रिड पंक्तियों/स्तंभों में संख्याएँ देता है; प्रायः तीसरा मान पहले दो से बनता है।
  • A frequent rule: third = (first)² + (second)².एक सामान्य नियम: तीसरा = (पहला)² + (दूसरा)²।
Worked example · हल उदाहरण

Rule: third = a² + b². Row (3, 2) → 9 + 4 = 13; row (5, 2) → 25 + 4 = 29; so row (8, 4) → 64 + 16 = 80.

नियम: तीसरा = a² + b²। पंक्ति (3, 2) → 9 + 4 = 13; पंक्ति (5, 2) → 25 + 4 = 29; अतः पंक्ति (8, 4) → 64 + 16 = 80।

📝 Quick self-test 4 MCQs

A grid follows third = a² + b². For the row with a = 6 and b = 3, the third value is:एक ग्रिड तीसरा = a² + b² मानता है। a = 6 और b = 3 वाली पंक्ति के लिए तीसरा मान है:

  1. 2727
  2. 3939
  3. 4545
  4. 8181
✔ C. 45 — 6² + 3² = 36 + 9 = 45.✔ C. 45 — 6² + 3² = 36 + 9 = 45।

Using third = a² + b², for the row (5, 2) the third value is:तीसरा = a² + b² से, पंक्ति (5, 2) के लिए तीसरा मान है:

  1. 2727
  2. 2929
  3. 1010
  4. 77
✔ B. 29 — 5² + 2² = 25 + 4 = 29.✔ B. 29 — 5² + 2² = 25 + 4 = 29।

Practice A box follows third = a² + b². For the row (9, 2), the third value is:Practice एक बॉक्स तीसरा = a² + b² मानता है। पंक्ति (9, 2) के लिए तीसरा मान है:

  1. 8585
  2. 8383
  3. 8181
  4. 2222
✔ A. 85 — 9² + 2² = 81 + 4 = 85.✔ A. 85 — 9² + 2² = 81 + 4 = 85।

Practice A box follows third = (a + b)². For the row (4, 3), the third value is:Practice एक बॉक्स तीसरा = (a + b)² मानता है। पंक्ति (4, 3) के लिए तीसरा मान है:

  1. 4949
  2. 2525
  3. 77
  4. 1212
✔ A. 49 — (4 + 3)² = 7² = 49.✔ A. 49 — (4 + 3)² = 7² = 49।
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Topic 06

Stars & Chainsतारे व श्रृंखलाएँ

  • In a star (or chain), each number is made from the previous one by a repeated rule like ×2 + 2.तारे (या श्रृंखला) में प्रत्येक संख्या पिछली से किसी दोहराए नियम जैसे ×2 + 2 से बनती है।
  • To go backwards, reverse the rule — for ×2 + 2, subtract 2 then divide by 2.पीछे जाने के लिए नियम उलटें — ×2 + 2 के लिए, 2 घटाएँ फिर 2 से भाग दें।
Worked example · हल उदाहरण

Rule ×2 + 2: 7 → 16 → 34 → 70 → 142 → 286 (each = previous × 2 + 2). Missing after 34 = 34 × 2 + 2 = 70.

नियम ×2 + 2: 7 → 16 → 34 → 70 → 142 → 286 (प्रत्येक = पिछला × 2 + 2)। 34 के बाद लुप्त = 34 × 2 + 2 = 70।

📝 Quick self-test 4 MCQs

A chain follows ×2 + 2. If one number is 16, what is the next number?एक श्रृंखला ×2 + 2 मानती है। यदि एक संख्या 16 है, तो अगली संख्या क्या है?

  1. 3232
  2. 3333
  3. 3434
  4. 3636
✔ C. 34 — 16 × 2 + 2 = 34.✔ C. 34 — 16 × 2 + 2 = 34।

A chain follows ×2 + 2. If a number in it is 142, what number came just before it?एक श्रृंखला ×2 + 2 मानती है। यदि इसमें एक संख्या 142 है, तो ठीक पहले कौन-सी संख्या थी?

  1. 7070
  2. 7171
  3. 7272
  4. 140140
✔ A. 70 — reverse the rule: (142 − 2) ÷ 2 = 140 ÷ 2 = 70.✔ A. 70 — नियम उलटें: (142 − 2) ÷ 2 = 140 ÷ 2 = 70।

Practice A chain follows ×2 + 1. If a number in it is 22, the next number is:Practice एक श्रृंखला ×2 + 1 मानती है। यदि इसमें एक संख्या 22 है, तो अगली संख्या है:

  1. 4545
  2. 4444
  3. 4646
  4. 4343
✔ A. 45 — 22 × 2 + 1 = 45.✔ A. 45 — 22 × 2 + 1 = 45।

Practice A chain follows ×2 + 2. If a number in it is 70, the number just before it is:Practice एक श्रृंखला ×2 + 2 मानती है। यदि इसमें एक संख्या 70 है, तो ठीक पहले की संख्या है:

  1. 3434
  2. 3535
  3. 3636
  4. 3333
✔ A. 34 — reverse the rule: (70 − 2) ÷ 2 = 34.✔ A. 34 — नियम उलटें: (70 − 2) ÷ 2 = 34।
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Recap

Quick Revisionतेज़ पुनरावृत्ति

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One-line method · एक-पंक्ति विधि
Find the operation from the complete figures, check it fits ALL of them, then apply it to the "?" — try +, −, ×, ÷, squares and cubes.पूरी आकृतियों से संक्रिया खोजें, जाँचें कि वह सब पर लगे, फिर "?" पर लगाएँ — +, −, ×, ÷, वर्ग और घन आज़माएँ।
  • Triangles: product of corners, or difference of squares.त्रिभुज: कोनों का गुणनफल, या वर्गों का अंतर।
  • Trees: middle = top₁ − top₂ − bottom.   Boxes: a² + b².वृक्ष: मध्य = ऊपर₁ − ऊपर₂ − नीचे। बॉक्स: a² + b²।
  • Circles/wheels: cubes or (a − b)³.   Chains: repeated rules like ×2 + 2.वृत्त/पहिये: घन या (a − b)³। श्रृंखलाएँ: ×2 + 2 जैसे दोहराए नियम।

Test Yourself · स्वयं को परखें

Take 5 questions at a time — tap an option to check. After each round, revise the notes above and take the retest.

एक बार में 5 प्रश्न लें — जाँचने के लिए किसी विकल्प पर टैप करें। हर राउंड के बाद ऊपर के नोट्स दोहराएँ और पुनःपरीक्षण लें।