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Quantitative Aptitude · Chapter 10 · Mensuration

Mensuration

Mensuration is measuring shapes — area and perimeter for flat 2D figures, volume and surface area for 3D solids. It is the most formula-heavy chapter, but the formulas follow a pattern: volume is "base area × height" for straight solids and one-third of that for pointed ones. Learn the tables, keep π = 22/7 handy, and watch your units.क्षेत्रमिति आकृतियों को मापना है — सपाट 2D आकृतियों के लिए क्षेत्रफल और परिमाप, 3D ठोसों के लिए आयतन और पृष्ठीय क्षेत्रफल। यह सबसे सूत्र-भारी अध्याय है, पर सूत्र एक पैटर्न पर चलते हैं: सीधे ठोसों के लिए आयतन "आधार क्षेत्रफल × ऊँचाई" और नुकीले ठोसों के लिए उसका एक-तिहाई। तालिकाएँ सीखें, π = 22/7 पास रखें, और इकाइयों का ध्यान रखें।
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Topic 01

2D Figures — Area & Perimeter

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FigureAreaPerimeter / other
Square (side a)a² = (diagonal)²/24a · diagonal = a√2
Rectangle (l, b)l × b2(l + b) · diagonal = √(l²+b²)
Triangle (base, h)½ × base × heightHeron: √[s(s−a)(s−b)(s−c)]
Equilateral (side a)(√3/4) a²height = (√3/2) a
Circle (radius r)π r²circumference = 2π r
Ring (R, r)π(R² − r²)—
◆ Worked example — Heron's formulaहल किया उदाहरण — हीरोन सूत्र

A triangle has perimeter 30 cm, area 30 cm², and its largest side is 13 cm. Find its smallest side.एक त्रिभुज का परिमाप 30 सेमी, क्षेत्रफल 30 सेमी², और सबसे बड़ी भुजा 13 सेमी है। सबसे छोटी भुजा ज्ञात करें।

  1. s = 15; the other two sides add to 30 − 13 = 17. Heron: √[15·2·(15−a)(15−b)] = 30 → (15−a)(15−b) = 30.s = 15; शेष दो भुजाओं का योग 30 − 13 = 17। हीरोन: √[15·2·(15−a)(15−b)] = 30 → (15−a)(15−b) = 30।
  2. With a + b = 17, the sides are 5 and 12 → smallest side = 5 cm (a 5-12-13 right triangle).a + b = 17 के साथ भुजाएँ 5 और 12 → सबसे छोटी = 5 सेमी (5-12-13 समकोण त्रिभुज)।
✔ When the numbers look messy, test whether it is a hidden right-triangle triple (3-4-5, 5-12-13, 8-15-17).✔ जब संख्याएँ उलझी दिखें, जाँचें कि यह कोई छिपा समकोण-त्रिक (3-4-5, 5-12-13, 8-15-17) तो नहीं।
📝 Self-testस्वयं-परीक्षण 6 MCQs

The area of a square of side 8 cm is:8 सेमी भुजा वाले वर्ग का क्षेत्रफल है:

  1. 128 cm²
  2. 64 cm²
  3. 16 cm²
  4. 32 cm²
✔ B. a² = 8² = 64 cm².✔ B. a² = 8² = 64 सेमी²।

The area of a rectangle 12 cm by 5 cm is:12 सेमी × 5 सेमी आयत का क्षेत्रफल है:

  1. 60 cm²
  2. 17 cm²
  3. 120 cm²
  4. 34 cm²
✔ A. l × b = 12 × 5 = 60 cm².✔ A. l × b = 60 सेमी²।

The area of a circle of radius 7 cm (π = 22/7) is:7 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त का क्षेत्रफल (π = 22/7) है:

  1. 308 cm²
  2. 616 cm²
  3. 154 cm²
  4. 44 cm²
✔ C. πr² = (22/7) × 49 = 154 cm².✔ C. πr² = (22/7) × 49 = 154 सेमी²।

The area of an equilateral triangle of side 6 cm is:6 सेमी भुजा वाले समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल है:

  1. 9√3 cm²
  2. 9 cm²
  3. 36√3 cm²
  4. 18√3 cm²
✔ A. (√3/4) × 6² = (√3/4) × 36 = 9√3 cm².✔ A. (√3/4) × 36 = 9√3 सेमी²।

The perimeter of a square whose area is 81 cm² is:जिस वर्ग का क्षेत्रफल 81 सेमी² है उसका परिमाप है:

  1. 36 cm
  2. 81 cm
  3. 18 cm
  4. 40 cm
✔ A. side = √81 = 9; perimeter = 4 × 9 = 36 cm.✔ A. भुजा = 9; परिमाप = 36 सेमी।

The diagonal of a square of side 10 cm is:10 सेमी भुजा वाले वर्ग का विकर्ण है:

  1. 10√2 cm
  2. 10 cm
  3. 5√2 cm
  4. 20 cm
✔ A. diagonal = a√2 = 10√2 cm.✔ A. विकर्ण = a√2 = 10√2 सेमी।
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Topic 02

Cube, Cuboid & Cylinder

SolidVolumeSurface areaOther
Cube (a)a³TSA = 6a² · LSA = 4a²diagonal = a√3
Cuboid (l,b,h)l·b·hTSA = 2(lb+bh+lh) · LSA = 2(l+b)hdiagonal = √(l²+b²+h²)
Cylinder (r,h)π r² hCSA = 2πrh · TSA = 2πr(r+h)—
Cuboid — the space diagonal is a 3-D Pythagorasघनाभ — विकर्ण त्रि-आयामी पाइथागोरस है
lhb diagonal = √(l²+b²+h²)
◆ Worked example — cylinder volumeहल किया उदाहरण — बेलन का आयतन

Find the volume of a cylinder of radius 7 cm and height 10 cm (π = 22/7).7 सेमी त्रिज्या और 10 सेमी ऊँचाई वाले बेलन का आयतन ज्ञात करें (π = 22/7)।

  1. Volume = πr²h = (22/7) × 7² × 10 = 22 × 7 × 10 = 1540 cm³.आयतन = πr²h = (22/7) × 49 × 10 = 1540 सेमी³।
✔ With r = 7 (or a multiple of 7), pick π = 22/7 so the 7s cancel and the arithmetic stays clean.✔ r = 7 (या 7 का गुणज) होने पर π = 22/7 लें ताकि 7 कट जाएँ और गणित साफ़ रहे।
📝 Self-testस्वयं-परीक्षण 6 MCQs

The volume of a cube of side 5 cm is:5 सेमी भुजा वाले घन का आयतन है:

  1. 75 cm³
  2. 25 cm³
  3. 150 cm³
  4. 125 cm³
✔ D. a³ = 5³ = 125 cm³.✔ D. a³ = 125 सेमी³।

The total surface area of a cube of side 4 cm is:4 सेमी भुजा वाले घन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल है:

  1. 64 cm²
  2. 96 cm²
  3. 48 cm²
  4. 16 cm²
✔ B. 6a² = 6 × 16 = 96 cm².✔ B. 6a² = 96 सेमी²।

The volume of a cuboid 8 cm × 6 cm × 5 cm is:8 सेमी × 6 सेमी × 5 सेमी घनाभ का आयतन है:

  1. 120 cm³
  2. 19 cm³
  3. 240 cm³
  4. 480 cm³
✔ C. lbh = 8 × 6 × 5 = 240 cm³.✔ C. lbh = 240 सेमी³।

The length of the diagonal of a cuboid 3 cm × 4 cm × 12 cm is:3 सेमी × 4 सेमी × 12 सेमी घनाभ के विकर्ण की लंबाई है:

  1. 12 cm
  2. √13 cm
  3. 19 cm
  4. 13 cm
✔ D. √(9 + 16 + 144) = √169 = 13 cm.✔ D. √(9 + 16 + 144) = 13 सेमी।

The volume of a cylinder of radius 7 cm and height 10 cm (π = 22/7) is:7 सेमी त्रिज्या और 10 सेमी ऊँचाई वाले बेलन का आयतन (π = 22/7) है:

  1. 3080 cm³
  2. 1540 cm³
  3. 1500 cm³
  4. 770 cm³
✔ B. πr²h = (22/7) × 49 × 10 = 1540 cm³.✔ B. πr²h = 1540 सेमी³।

The curved surface area of a cylinder of radius 7 cm and height 10 cm (π = 22/7) is:7 सेमी त्रिज्या और 10 सेमी ऊँचाई वाले बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (π = 22/7) है:

  1. 308 cm²
  2. 880 cm²
  3. 220 cm²
  4. 440 cm²
✔ D. 2πrh = 2 × (22/7) × 7 × 10 = 440 cm².✔ D. 2πrh = 440 सेमी²।
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Topic 03

Cone, Sphere, Hemisphere & Recasting

SolidVolumeSurface areaOther
Cone (r, h, l)⅓ π r² hCSA = πrl · TSA = πr(l+r)slant l = √(r²+h²)
Sphere (r)4⁄3 π r³SA = 4π r²—
Hemisphere (r)⅔ π r³CSA = 2πr² · TSA = 3πr²—
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Recasting keeps volume constantपुनर्निर्माण में आयतन स्थिर रहता है
When a solid is melted and recast into another shape, the volume does not change. So "a sphere melted into n cones" means (sphere volume) = n × (cone volume). Set the two volume formulas equal and solve.जब कोई ठोस पिघलाकर दूसरी आकृति में ढाला जाए, आयतन नहीं बदलता। अतः "एक गोला n शंकुओं में पिघलाया" का अर्थ है (गोले का आयतन) = n × (शंकु का आयतन)। दोनों आयतन सूत्र बराबर रखकर हल करें।
◆ Worked example — rotating a triangleहल किया उदाहरण — त्रिभुज घुमाना

A right triangle with legs 3 cm and 4 cm (hypotenuse 5 cm) is rotated about the 3 cm side. Find the volume of the cone formed.3 सेमी और 4 सेमी भुजाओं (कर्ण 5 सेमी) वाला समकोण त्रिभुज 3 सेमी भुजा के परितः घुमाया जाता है। बने शंकु का आयतन ज्ञात करें।

  1. Rotating about the 3 cm leg makes that the height (h = 3) and the other leg the radius (r = 4).3 सेमी भुजा के परितः घुमाने से वही ऊँचाई (h = 3) और दूसरी भुजा त्रिज्या (r = 4) बनती है।
  2. Volume = ⅓πr²h = ⅓ × π × 16 × 3 = 16π cm³.आयतन = ⅓πr²h = ⅓ × π × 16 × 3 = 16π सेमी³।
✔ The side you rotate about becomes the height; the other leg becomes the radius.✔ जिस भुजा के परितः घुमाते हैं वह ऊँचाई बनती है; दूसरी भुजा त्रिज्या।
📝 Self-testस्वयं-परीक्षण 6 MCQs

The surface area of a sphere of radius 7 cm (π = 22/7) is:7 सेमी त्रिज्या वाले गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल (π = 22/7) है:

  1. 616 cm²
  2. 1232 cm²
  3. 154 cm²
  4. 308 cm²
✔ A. 4πr² = 4 × (22/7) × 49 = 616 cm².✔ A. 4πr² = 616 सेमी²।

The volume of a cone of radius 3 cm and height 4 cm is:3 सेमी त्रिज्या और 4 सेमी ऊँचाई वाले शंकु का आयतन है:

  1. 4π cm³
  2. 24π cm³
  3. 36π cm³
  4. 12π cm³
✔ D. ⅓πr²h = ⅓ × π × 9 × 4 = 12π cm³.✔ D. ⅓πr²h = 12π सेमी³।

The slant height of a cone of radius 3 cm and height 4 cm is:3 सेमी त्रिज्या और 4 सेमी ऊँचाई वाले शंकु की तिर्यक ऊँचाई है:

  1. √7 cm
  2. 5 cm
  3. 25 cm
  4. 7 cm
✔ B. l = √(r² + h²) = √(9 + 16) = 5 cm.✔ B. l = √(9 + 16) = 5 सेमी।

The volume of a hemisphere of radius 3 cm is:3 सेमी त्रिज्या वाले अर्धगोले का आयतन है:

  1. 27π cm³
  2. 18π cm³
  3. 9π cm³
  4. 36π cm³
✔ B. ⅔πr³ = ⅔ × π × 27 = 18π cm³.✔ B. ⅔πr³ = 18π सेमी³।

A right triangle with sides 3, 4, 5 cm is rotated about the 3 cm side. The volume of the cone is:3, 4, 5 सेमी भुजाओं वाला समकोण त्रिभुज 3 सेमी भुजा के परितः घुमाया जाता है। शंकु का आयतन है:

  1. 12π cm³
  2. 48π cm³
  3. 16π cm³
  4. 20π cm³
✔ C. r = 4, h = 3 → ⅓π × 16 × 3 = 16π cm³.✔ C. r = 4, h = 3 → 16π सेमी³।

The total surface area of a hemisphere of radius 7 cm (π = 22/7) is:7 सेमी त्रिज्या वाले अर्धगोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल (π = 22/7) है:

  1. 924 cm²
  2. 154 cm²
  3. 462 cm²
  4. 308 cm²
✔ C. 3πr² = 3 × (22/7) × 49 = 462 cm².✔ C. 3πr² = 462 सेमी²।

Test Yourself · Mensuration

15 questions on 2D areas, cube/cuboid/cylinder and cone/sphere/hemisphere, including recasting. Take 5 at a time; tap an option to check, then read Why.

2D क्षेत्रफल, घन/घनाभ/बेलन और शंकु/गोला/अर्धगोला पर 15 प्रश्न, पुनर्निर्माण सहित। एक बार में 5 लें; जाँचने के लिए विकल्प पर टैप करें, फिर Why पढ़ें।