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Quantitative Aptitude · Chapter 21 · Heights & Distance

Heights & Distance

Heights & Distance is trigonometry put to work: a tower, a shadow, an aeroplane, and an angle. Almost every question uses just three angles — 30°, 45°, 60° — whose tangents are 1/√3, 1, √3. Draw the right-angled triangle, mark which side is the height and which is the ground distance, and one tan equation finishes it.ऊँचाई व दूरी काम में लगी त्रिकोणमिति है: एक मीनार, एक छाया, एक हवाई जहाज़, और एक कोण। लगभग हर प्रश्न केवल तीन कोणों — 30°, 45°, 60° — का उपयोग करता है, जिनके स्पर्शज्या 1/√3, 1, √3 हैं। समकोण त्रिभुज बनाएँ, चिह्नित करें कौन-सी भुजा ऊँचाई है और कौन-सी ज़मीनी दूरी, और एक tan समीकरण इसे पूरा कर देता है।
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Topic 01

Angle of Elevation & the Standard Triangles

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The angle of elevation is the angle your line of sight makes with the horizontal when you look up at an object; the angle of depression is the same when you look down. In every right triangle, tan(angle) = height ÷ ground distance.उन्नयन कोण वह कोण है जो किसी वस्तु को ऊपर देखते समय आपकी दृष्टि-रेखा क्षैतिज से बनाती है; अवनमन कोण नीचे देखते समय वही होता है। हर समकोण त्रिभुज में, tan(कोण) = ऊँचाई ÷ ज़मीनी दूरी।

Angle θ30°45°60°
tan θ1/√31√3
height : base1 : √31 : 1√3 : 1
Angle of elevation — tan θ = height ÷ distanceउन्नयन कोण — tan θ = ऊँचाई ÷ दूरी
θ height ground distance eye
◆ Worked exampleहल किया उदाहरण

From a point 30√3 m from the foot of a tower, the angle of elevation of its top is 30°. Find the tower's height.एक मीनार के पाद से 30√3 मी दूर एक बिंदु से उसके शिखर का उन्नयन कोण 30° है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात करें।

  1. tan 30° = height ÷ 30√3 → (1/√3) = height ÷ 30√3.tan 30° = ऊँचाई ÷ 30√3 → (1/√3) = ऊँचाई ÷ 30√3।
  2. height = 30√3 ÷ √3 = 30 m.ऊँचाई = 30√3 ÷ √3 = 30 मी।
✔ At 45° the height equals the distance; at 60° it is √3 times the distance; at 30° it is 1/√3 of it.✔ 45° पर ऊँचाई = दूरी; 60° पर दूरी का √3 गुना; 30° पर उसका 1/√3।
📝 Self-testस्वयं-परीक्षण 6 MCQs

The angle of elevation of a tower's top from a point 50 m away is 45°. The height of the tower is:50 मी दूर एक बिंदु से मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 45° है। मीनार की ऊँचाई है:

  1. 50√3 m
  2. 100 m
  3. 25 m
  4. 50 m
✔ D. tan 45° = 1 → height = distance = 50 m.✔ D. tan 45° = 1 → ऊँचाई = दूरी = 50 मी।

The angle of elevation of a tower's top from a point 10 m away is 60°. The height of the tower is:10 मी दूर एक बिंदु से मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 60° है। मीनार की ऊँचाई है:

  1. 10 m
  2. 10√3 m
  3. 20 m
  4. 30 m
✔ B. tan 60° = √3 → height = 10√3 m.✔ B. tan 60° = √3 → ऊँचाई = 10√3 मी।

A 30 m tower's top has an angle of elevation of 30° from a point on the ground. The distance of the point from the foot is:30 मी मीनार के शिखर का उन्नयन कोण ज़मीन पर एक बिंदु से 30° है। पाद से बिंदु की दूरी है:

  1. 30√3 m
  2. 60 m
  3. 10√3 m
  4. 30 m
✔ A. tan 30° = 30 ÷ d → d = 30√3 m.✔ A. tan 30° = 30 ÷ d → d = 30√3 मी।

The shadow of a pole equals its own height. The sun's angle of elevation is:एक खंभे की छाया उसकी अपनी ऊँचाई के बराबर है। सूर्य का उन्नयन कोण है:

  1. 30°
  2. 60°
  3. 45°
  4. 90°
✔ C. tan θ = height/shadow = 1 → θ = 45°.✔ C. tan θ = ऊँचाई/छाया = 1 → θ = 45°।

The angle of elevation of a tower's top from 30√3 m away is 30°. The tower's height is:30√3 मी दूर से मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 30° है। मीनार की ऊँचाई है:

  1. 10 m
  2. 30 m
  3. 30√3 m
  4. 90 m
✔ B. height = 30√3 × tan 30° = 30√3 ÷ √3 = 30 m.✔ B. ऊँचाई = 30√3 × (1/√3) = 30 मी।

A 10 m high pole casts a shadow 10√3 m long. The sun's angle of elevation is:10 मी ऊँचा खंभा 10√3 मी लंबी छाया डालता है। सूर्य का उन्नयन कोण है:

  1. 15°
  2. 30°
  3. 45°
  4. 60°
✔ B. tan θ = 10 / 10√3 = 1/√3 → θ = 30°.✔ B. tan θ = 1/√3 → θ = 30°।
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Topic 02

Two-Angle Problems

The classic exam setup: you see the top of a tower at one angle, walk some distance toward it, and the angle grows (say 30° → 60°). Write the ground distance for each angle in terms of the height, and their difference is the distance you walked.क्लासिक परीक्षा सेटअप: आप मीनार का शिखर एक कोण पर देखते हैं, उसकी ओर कुछ दूरी चलते हैं, और कोण बढ़ जाता है (मान लें 30° → 60°)। हर कोण के लिए ज़मीनी दूरी को ऊँचाई के पदों में लिखें, और उनका अंतर वह दूरी है जो आप चले।

Angle 30° → 60° after walking dd चलने पर कोण 30° → 60°
h × (cot 30° − cot 60°) = d   →   h × (√3 − 1/√3) = d   →   h × (2/√3) = d
h × (cot 30° − cot 60°) = d → h × (2/√3) = d।
◆ Worked exampleहल किया उदाहरण

From point A the angle of elevation of a tower is 30°. Walking 20 m toward it, the angle becomes 60°. Find the tower's height.बिंदु A से मीनार का उन्नयन कोण 30° है। उसकी ओर 20 मी चलने पर कोण 60° हो जाता है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात करें।

  1. Distance at 30° = h√3; at 60° = h/√3. Difference = h√3 − h/√3 = h(2/√3) = 20.30° पर दूरी = h√3; 60° पर = h/√3। अंतर = h√3 − h/√3 = h(2/√3) = 20।
  2. h = 20 × √3/2 = 10√3 m.h = 20 × √3/2 = 10√3 मी।
✔ Same height, two ground distances — subtract them and equate to the walk. The 30°/60° pair always gives h(2/√3).✔ समान ऊँचाई, दो ज़मीनी दूरियाँ — घटाएँ और चले हुए से बराबर करें। 30°/60° युग्म हमेशा h(2/√3) देता है।
📝 Self-testस्वयं-परीक्षण 6 MCQs

From a point the elevation of a tower's top is 30°. Walking 20 m toward it, the elevation becomes 60°. The tower's height is:एक बिंदु से मीनार के शिखर का उन्नयन 30° है। उसकी ओर 20 मी चलने पर उन्नयन 60° हो जाता है। मीनार की ऊँचाई है:

  1. 20√3 m
  2. 5√3 m
  3. 10√3 m
  4. √3 m
✔ C. h(√3 − 1/√3) = 20 → h(2/√3) = 20 → h = 10√3 m.✔ C. h(2/√3) = 20 → h = 10√3 मी।

The shadow of a tower lengthens by 60 m when the sun's altitude changes from 45° to 30°. The tower's height is:जब सूर्य की ऊँचाई 45° से 30° हो जाती है तो मीनार की छाया 60 मी बढ़ जाती है। मीनार की ऊँचाई है:

  1. 30(√3+1) m
  2. 20(√3+1) m
  3. 30(√3−1) m
  4. 24(√3+1) m
✔ A. h(cot30 − cot45) = 60 → h(√3 − 1) = 60 → h = 30(√3+1) m.✔ A. h(√3 − 1) = 60 → h = 30(√3+1) मी।

The elevation of a tower's top is 45°; moving 60 m closer it becomes 60°. The tower's height is:मीनार के शिखर का उन्नयन 45° है; 60 मी निकट जाने पर यह 60° हो जाता है। मीनार की ऊँचाई है:

  1. 30(3−√3) m
  2. 30(3+√3) m
  3. 30 m
  4. 30√3 m
✔ B. h(cot45 − cot60) = 60 → h(1 − 1/√3) = 60 → h = 30(3+√3) m.✔ B. h(1 − 1/√3) = 60 → h = 30(3+√3) मी।

A man walks toward a 30 m tower; the elevation of its top changes from 30° to 60°. The distance he walked is:एक व्यक्ति 30 मी मीनार की ओर चलता है; उसके शिखर का उन्नयन 30° से 60° हो जाता है। वह जितना चला वह दूरी है:

  1. 22 m
  2. 22√3 m
  3. 20 m
  4. 20√3 m
✔ D. 30√3 − 30/√3 = 30√3 − 10√3 = 20√3 m.✔ D. 30√3 − 10√3 = 20√3 मी।

Two poles of equal height stand on opposite sides of a 100 m wide road. From a point between them the elevations of the tops are 30° and 60°. The height of each pole is:समान ऊँचाई के दो खंभे 100 मी चौड़ी सड़क के आमने-सामने खड़े हैं। उनके बीच एक बिंदु से शिखरों के उन्नयन 30° और 60° हैं। हर खंभे की ऊँचाई है:

  1. 25√3 m
  2. 20√3 m
  3. 30√3 m
  4. 28√3 m
✔ A. h√3 + h/√3 = 100 → h(4/√3) = 100 → h = 25√3 m.✔ A. h√3 + h/√3 = 100 → h = 25√3 मी।

An aeroplane at 3125 m flies directly below another. From a ground point their elevations are 30° and 60°. The distance between the two planes is:3125 मी पर एक हवाई जहाज़ दूसरे के ठीक नीचे उड़ता है। ज़मीन के एक बिंदु से उनके उन्नयन 30° और 60° हैं। दोनों जहाज़ों के बीच की दूरी है:

  1. 6520 m
  2. 6000 m
  3. 5000 m
  4. 6250 m
✔ D. Base = 3125√3 (at 30°); upper height = 3125√3 × √3 = 9375; gap = 9375 − 3125 = 6250 m.✔ D. आधार = 3125√3; ऊपरी ऊँचाई = 9375; अंतर = 6250 मी।
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Topic 03

Depression & Complementary Angles

Looking down from a height gives an angle of depression, which equals the angle of elevation from the object back up (alternate angles). When two angles are complementary (they add to 90°), a neat result appears: the height is the geometric mean of the two ground distances, h = √(xy).किसी ऊँचाई से नीचे देखने पर अवनमन कोण बनता है, जो वस्तु से वापस ऊपर के उन्नयन कोण के बराबर होता है (एकांतर कोण)। जब दो कोण पूरक हों (योग 90°), एक सुंदर परिणाम मिलता है: ऊँचाई दो ज़मीनी दूरियों का गुणोत्तर माध्य, h = √(xy) होती है।

◆ Worked example — depression to two objectsहल किया उदाहरण — दो वस्तुओं का अवनमन

From the top of a 125 m tower, the angles of depression of two objects on the same side are 45° and 30°. Find the distance between them.125 मी मीनार के शिखर से एक ही ओर की दो वस्तुओं के अवनमन कोण 45° और 30° हैं। उनके बीच की दूरी ज्ञात करें।

  1. Nearer object (45°): distance = 125 × cot 45° = 125. Farther (30°): 125 × cot 30° = 125√3.निकट वस्तु (45°): दूरी = 125 × cot 45° = 125। दूर (30°): 125 × cot 30° = 125√3।
  2. Distance between = 125√3 − 125 = 125(√3 − 1) m.बीच की दूरी = 125√3 − 125 = 125(√3 − 1) मी।
✔ Same side → subtract the two ground distances; opposite sides → add them.✔ एक ही ओर → दोनों ज़मीनी दूरियाँ घटाएँ; विपरीत ओर → जोड़ें।
📝 Self-testस्वयं-परीक्षण 6 MCQs

The tops of two towers are seen at complementary angles from two points 9 m and 16 m from their feet. The common height is:दो मीनारों के शिखर उनके पादों से 9 मी और 16 मी दूर दो बिंदुओं से पूरक कोणों पर दिखते हैं। उभयनिष्ठ ऊँचाई है:

  1. 25 m
  2. 12 m
  3. 7 m
  4. √7 m
✔ B. Complementary → h = √(xy) = √(9 × 16) = √144 = 12 m.✔ B. पूरक → h = √(9 × 16) = 12 मी।

From the top of a 125 m tower the depressions of two objects on the same side are 45° and 30°. The distance between them is:125 मी मीनार के शिखर से एक ही ओर की दो वस्तुओं के अवनमन 45° और 30° हैं। उनके बीच की दूरी है:

  1. 125 m
  2. 125(√3+1) m
  3. 125(√3−1) m
  4. 125√3 m
✔ C. 125√3 − 125 = 125(√3 − 1) m.✔ C. 125√3 − 125 = 125(√3 − 1) मी।

From the top of a 180 m tower the depressions of two objects on either side are 30° and 45°. The distance between them is:180 मी मीनार के शिखर से दोनों ओर की दो वस्तुओं के अवनमन 30° और 45° हैं। उनके बीच की दूरी है:

  1. 180(3−√3) m
  2. 180(√3−1) m
  3. 180√3 m
  4. 180(√3+1) m
✔ D. Opposite sides → 180cot30 + 180cot45 = 180√3 + 180 = 180(√3+1) m.✔ D. विपरीत ओर → 180√3 + 180 = 180(√3+1) मी।

From the top of a 10 m pole, the elevation of a tower's top is 60° and the depression of its foot is 30°. The tower's height is:10 मी खंभे के शिखर से एक मीनार के शिखर का उन्नयन 60° और उसके पाद का अवनमन 30° है। मीनार की ऊँचाई है:

  1. 40 m
  2. 50 m
  3. 30 m
  4. 20 m
✔ A. Foot (30°): road = 10√3; upper part (60°) = 10√3 × √3 = 30; tower = 30 + 10 = 40 m.✔ A. पाद (30°): सड़क = 10√3; ऊपरी भाग = 30; मीनार = 30 + 10 = 40 मी।

Two towers of equal height are seen at complementary angles from points 4 m and 9 m from their bases. The height is:समान ऊँचाई की दो मीनारें उनके आधारों से 4 मी और 9 मी दूर बिंदुओं से पूरक कोणों पर दिखती हैं। ऊँचाई है:

  1. 6 m
  2. 36 m
  3. 13 m
  4. 12 m
✔ A. h = √(4 × 9) = √36 = 6 m.✔ A. h = √(4 × 9) = 6 मी।

A 15 m vertical tree is broken so that the top touches the ground making 30° with it (still attached). The height at which it broke is:15 मी ऊर्ध्वाधर पेड़ इस तरह टूटता है कि शिखर ज़मीन को छूकर उससे 30° बनाता है (अब भी जुड़ा)। जिस ऊँचाई पर टूटा वह है:

  1. 5√3 m
  2. 10 m
  3. 5 m
  4. 7.5 m
✔ C. Standing part x, broken piece = 2x (30° → hypotenuse = 2×height); x + 2x = 15 → x = 5 m.✔ C. खड़ा भाग x, टूटा भाग = 2x; x + 2x = 15 → x = 5 मी।

Test Yourself · Heights & Distance

15 questions on elevation, the standard 30-45-60 triangles, two-angle problems, depression and complementary angles. Take 5 at a time; tap an option to check, then read Why.

उन्नयन, मानक 30-45-60 त्रिभुज, दो-कोण प्रश्न, अवनमन और पूरक कोण पर 15 प्रश्न। एक बार में 5 लें; जाँचने के लिए विकल्प पर टैप करें, फिर Why पढ़ें।